Страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Докажите, что:

а) сумма двух чётных функций является чётной функцией;

б) произведение двух чётных функций является чётной функцией.

Приведите пример.

Решение.

а) Пусть $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — чётные функции. Тогда:

1) $D(f)$ и $D(g)$ — множества, симметричные относительно $x = 0$,

и $D(f+g) = D(f) \cap D(g)$ — множество, симметричное относительно $x = 0$;

2) так как функции чётные, то $f(-x)=f(x)$, $g(-x)=g(x)$,

$(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x).$

Получили $(f+g)(-x) = (f+g)(x)$. Значит, $y=(f+g)(x)$ — чётная функция.

Например, $f(x) = x^2$ и $g(x)=5x^2+3$ — чётные функции.

Составим сумму $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+5x^2+3=6x^2+3.$

1) $D(f+g) = \mathbb{R}$ — симметрична относительно $x=0$;

2) $(f+g)(-x)=6(-x)^2+3=6x^2+3.$

Значит, функция $(f+g)(x)$ чётная.

б)

а) Доказательство того, что сумма двух чётных функций является чётной функцией.

Функция $y=h(x)$ называется чётной, если выполняются два условия:
1. Её область определения $D(h)$ симметрична относительно точки $x=0$ (то есть, если $x \in D(h)$, то и $-x \in D(h)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Пусть $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — две чётные функции. Рассмотрим их сумму $h(x) = f(x) + g(x)$.

1) Область определения суммы функций есть пересечение их областей определения: $D(h) = D(f) \cap D(g)$. Поскольку $D(f)$ и $D(g)$ по условию симметричны относительно $x=0$, их пересечение также будет симметричным множеством. Первое условие выполнено.

2) Проверим второе условие. Найдём значение функции $h(x)$ в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$.
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ чётные, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Подставим это в предыдущее выражение:
$h(-x) = f(x) + g(x)$.
Правая часть равна исходной функции $h(x)$. Таким образом, мы получили $h(-x) = h(x)$. Второе условие также выполнено.

Следовательно, функция $h(x) = f(x) + g(x)$ является чётной.

Пример.
Пусть $f(x) = x^4 - 2x^2$ и $g(x) = |x|$. Обе функции чётные:
$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$.
$g(-x) = |-x| = |x| = g(x)$.
Их сумма $h(x) = (x^4 - 2x^2) + |x| = x^4 - 2x^2 + |x|$.
Проверим четность суммы:
$h(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + |-x| = x^4 - 2x^2 + |x| = h(x)$.
Функция $h(x)$ является чётной.

Ответ: Сумма двух чётных функций является чётной функцией, что и требовалось доказать.

б) Доказательство того, что произведение двух чётных функций является чётной функцией.

Пусть, как и в предыдущем пункте, $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — две чётные функции. Рассмотрим их произведение $p(x) = f(x) \cdot g(x)$.

1) Область определения произведения функций $D(p) = D(f) \cap D(g)$ является симметричным множеством относительно $x=0$, так как $D(f)$ и $D(g)$ симметричны. Первое условие выполнено.

2) Проверим второе условие. Найдём значение функции $p(x)$ в точке $-x$:
$p(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.
Поскольку $f(x)$ и $g(x)$ — чётные, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Подставим:
$p(-x) = f(x) \cdot g(x)$.
Правая часть равна исходной функции $p(x)$. Таким образом, мы получили $p(-x) = p(x)$. Второе условие также выполнено.

Следовательно, функция $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ является чётной.

Пример.
Возьмём те же чётные функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \cos(x)$.
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
$g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x)$.
Их произведение $p(x) = x^2 \cos(x)$.
Проверим четность произведения:
$p(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos(x) = p(x)$.
Функция $p(x)$ является чётной.

Ответ: Произведение двух чётных функций является чётной функцией, что и требовалось доказать.

4. Найдите пятый, десятый и $n$-й члены арифметической прогрессии $\frac{1}{7}$, $-1$, ....

Решение. Разность прогрессии равна .......... . Значит,

$a_5=$............................. ,

$a_{10}=$............................. ,

$a_n=$.............................. .

Для нахождения членов арифметической прогрессии сначала определим ее разность $d$. Даны первые два члена прогрессии: $a_1 = \frac{1}{7}$ и $a_2 = -1$. Разность арифметической прогрессии вычисляется как разница между последующим и предыдущим членами:

$d = a_2 - a_1 = -1 - \frac{1}{7} = -\frac{7}{7} - \frac{1}{7} = -\frac{8}{7}$.

Теперь, зная первый член $a_1$ и разность $d$, мы можем найти любой член прогрессии по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

a₅

Для нахождения пятого члена прогрессии подставим $n=5$ в формулу:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = \frac{1}{7} + 4 \cdot (-\frac{8}{7}) = \frac{1}{7} - \frac{32}{7} = \frac{1-32}{7} = -\frac{31}{7}$.

Ответ: $a_5 = -\frac{31}{7}$.

a₁₀

Для нахождения десятого члена прогрессии подставим $n=10$ в формулу:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d = \frac{1}{7} + 9 \cdot (-\frac{8}{7}) = \frac{1}{7} - \frac{72}{7} = \frac{1-72}{7} = -\frac{71}{7}$.

Ответ: $a_{10} = -\frac{71}{7}$.

a_n

Для нахождения формулы n-го члена прогрессии подставим известные значения $a_1 = \frac{1}{7}$ и $d = -\frac{8}{7}$ в общую формулу:

$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{7} + (n-1) \cdot (-\frac{8}{7})$.

Упростим выражение:

$a_n = \frac{1}{7} - \frac{8(n-1)}{7} = \frac{1 - 8(n-1)}{7} = \frac{1 - 8n + 8}{7} = \frac{9 - 8n}{7}$.

Ответ: $a_n = \frac{9 - 8n}{7}$.

5. Туристы в понедельник прошли 10 км, а в каждый следующий день недели пройденное ими расстояние увеличивалось на 0,5 км. Какое расстояние прошли туристы в последний день недели?

...ли, что, если числа $a, b, c$ - три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа $a^2-ab+b^2, a^2+ac+c^2, b^2+bc+c^2$ также являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

.............................

.............................

Решение.

Расстояния, которые туристы проходили каждый день, представляют собой арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии, $a_1$, — это расстояние, пройденное в понедельник, и он равен 10 км.

Разность арифметической прогрессии, $d$, — это величина, на которую ежедневно увеличивалось расстояние, и она равна 0,5 км.

Нам нужно найти расстояние, пройденное в последний день недели. В неделе 7 дней, поэтому понедельник — это первый день ($n=1$), а последний день недели (воскресенье) — это седьмой день ($n=7$). Следовательно, нам нужно найти седьмой член арифметической прогрессии ($a_7$).

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу известные нам значения: $a_1 = 10$, $d = 0,5$ и $n = 7$.

$a_7 = 10 + (7-1) \times 0,5$

$a_7 = 10 + 6 \times 0,5$

$a_7 = 10 + 3$

$a_7 = 13$

Таким образом, в последний день недели туристы прошли 13 км.

Ответ: 13 км.

6. Чему равен первый положительный член арифметической про-грессии $–34, –31, –28, \dots$?

Решение. В данной прогрессии $a_1 = \dots$, $d = \dots$.

Значит, $a_n = \dots$. Решим неравенство: $\dots$

...

...

...

Ответ: $\dots$

Решение.
Дана арифметическая прогрессия: $-34, -31, -28, \dots$
Первый член этой прогрессии $a_1 = -34$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычитая из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -31 - (-34) = -31 + 34 = 3$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения $a_1$ и $d$:
$a_n = -34 + (n-1) \cdot 3$
$a_n = -34 + 3n - 3$
$a_n = 3n - 37$
Чтобы найти первый положительный член прогрессии, необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, для которого $a_n > 0$. Решим неравенство:
$3n - 37 > 0$
$3n > 37$
$n > \frac{37}{3}$
$n > 12\frac{1}{3}$
Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть наименьшим натуральным числом, которое больше $12\frac{1}{3}$. Таким числом является $n = 13$.
Теперь найдем значение этого 13-го члена прогрессии:
$a_{13} = 3 \cdot 13 - 37 = 39 - 37 = 2$.
Первый положительный член прогрессии равен 2.

Ответ: 2.

7. Чему равен первый отрицательный член арифметической прогрессии 18, 13, 8, ...?

Ответ:

Данная последовательность является арифметической прогрессией. Найдем ее основные параметры: первый член $a_1$ и разность $d$.
Из условия, первый член прогрессии $a_1 = 18$.
Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый следующий член от предыдущего. Вычислим ее:
$d = a_2 - a_1 = 13 - 18 = -5$.

Нам нужно найти первый член прогрессии, который будет отрицательным. Для этого воспользуемся общей формулой n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Мы ищем наименьший номер члена $n$ (натуральное число), для которого выполняется неравенство $a_n < 0$.

Подставим известные значения $a_1=18$ и $d=-5$ в неравенство:
$18 + (n-1)(-5) < 0$
Раскроем скобки и решим неравенство:
$18 - 5n + 5 < 0$
$23 - 5n < 0$
Перенесем $5n$ в правую часть:
$23 < 5n$
Разделим обе части на 5:
$n > \frac{23}{5}$
$n > 4.6$

Так как номер члена $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше 4.6, это $n=5$.
Это означает, что пятый член прогрессии ($a_5$) будет первым отрицательным членом.

Теперь найдем значение этого члена, подставив $n=5$ в формулу:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 18 + 4 \cdot (-5) = 18 - 20 = -2$.

Можно также продолжить последовательность вручную для проверки:
$a_1 = 18$
$a_2 = 13$
$a_3 = 8$
$a_4 = 8 - 5 = 3$
$a_5 = 3 - 5 = -2$
Действительно, первый отрицательный член прогрессии равен -2.

Ответ: -2