Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Укажите, какие из линейных функций $y = 12 - 3x$, $y = x + 4$, $y = 2x - 6$, $y = 0,4x - 3$, $y = -12x - 46$ являются:

а) возрастающими:

б) убывающими:

Для того чтобы определить, является ли линейная функция возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее угловой коэффициент $k$ в уравнении вида $y = kx + b$.

• Если коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей (с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается).

• Если коэффициент $k < 0$, функция является убывающей (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается).

Рассмотрим каждую из предложенных функций:

• $y = 12 - 3x$ можно представить как $y = -3x + 12$. Здесь $k = -3$.

• $y = x + 4$. Здесь $k = 1$.

• $y = 2x - 6$. Здесь $k = 2$.

• $y = 0.4x - 3$. Здесь $k = 0.4$.

• $y = -12x - 46$. Здесь $k = -12$.

а) возрастающими:

К возрастающим относятся функции, у которых угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$). Это следующие функции:

• $y = x + 4$ (поскольку $k=1 > 0$)

• $y = 2x - 6$ (поскольку $k=2 > 0$)

• $y = 0.4x - 3$ (поскольку $k=0.4 > 0$)

Ответ: $y = x + 4$, $y = 2x - 6$, $y = 0.4x - 3$.

б) убывающими:

К убывающим относятся функции, у которых угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$). Это следующие функции:

• $y = 12 - 3x$ (поскольку $k=-3 < 0$)

• $y = -12x - 46$ (поскольку $k=-12 < 0$)

Ответ: $y = 12 - 3x$, $y = -12x - 46$.

5. Покажите с помощью стрелок, какие из данных функций являются возрастающими, какие — убывающими.

$y = -1,4x$

$y = 2x^3$

$y = -\frac{x}{6}$

$y = x^2 - 2$

Функция возрастающая

Функция убывающая

$y = \sqrt{x+2}$

$y = |x|$

$y = 7 + 4x$

$y = -x^3$

Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, можно проанализировать ее вид, использовать определение монотонности или найти ее производную. Функция является возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция является убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция возрастающая

Функция $y = 2x^3$. Это степенная функция. Для любых действительных чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$. Умножение на положительное число $2$ не меняет знак неравенства, поэтому $2x_1^3 < 2x_2^3$. Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Также можно проанализировать производную: $y' = (2x^3)' = 6x^2$. Так как $y' \ge 0$ для всех $x$, функция является возрастающей.
Ответ: $y = 2x^3$ — возрастающая.

Функция $y = \sqrt{x} + 2$. Область определения этой функции — $x \ge 0$. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на своей области определения. Прибавление константы $2$ сдвигает график функции вверх, но не меняет ее характер монотонности. Таким образом, для любых $x_1, x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$, и, следовательно, $\sqrt{x_1} + 2 < \sqrt{x_2} + 2$.
Ответ: $y = \sqrt{x} + 2$ — возрастающая.

Функция $y = 7 + 4x$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=4$. Поскольку коэффициент $k$ положительный ($k > 0$), функция является возрастающей на всей области определения.
Ответ: $y = 7 + 4x$ — возрастающая.

Функция убывающая

Функция $y = -1.4x$. Это линейная функция вида $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k = -1.4$. Поскольку коэффициент $k$ отрицательный ($k < 0$), функция является убывающей на всей области определения.
Ответ: $y = -1.4x$ — убывающая.

Функция $y = -\frac{x}{6}$. Эту функцию можно записать в виде $y = (-\frac{1}{6})x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{6}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей числовой прямой.
Ответ: $y = -\frac{x}{6}$ — убывающая.

Функция $y = -x^3$. Это степенная функция. Для любых действительных чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$. При умножении на отрицательное число $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-x_1^3 > -x_2^3$. Следовательно, функция является убывающей на всей числовой прямой. Производная $y' = (-x^3)' = -3x^2 \le 0$ для всех $x$, что также подтверждает убывание функции.
Ответ: $y = -x^3$ — убывающая.

Примечание: Функции $y = x^2 - 2$ и $y = |x|$ не являются монотонными на всей своей области определения. Например, функция $y = x^2 - 2$ (парабола с ветвями вверх) убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Функция $y = |x|$ убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Поэтому их нельзя отнести ни к возрастающим, ни к убывающим на всей области определения.

6. При каких значениях k функция $y = (2k + 3)x - 4$:

а) является возрастающей;

б) является убывающей;

в) не является ни возрастающей, ни убывающей?

Ответ: а) .................... б) .................... в) ....................

Данная функция $y = (2k + 3)x - 4$ является линейной функцией вида $y = mx + b$, где угловой коэффициент (наклон) равен $m = 2k + 3$, а свободный член $b = -4$. Поведение линейной функции (возрастание или убывание) полностью определяется знаком ее углового коэффициента $m$.

а) является возрастающей;

Линейная функция является возрастающей, если ее угловой коэффициент положителен, то есть $m > 0$. В нашем случае это означает, что выражение $2k + 3$ должно быть больше нуля.

Решим неравенство:

$2k + 3 > 0$

$2k > -3$

$k > -\frac{3}{2}$

$k > -1.5$

Таким образом, функция является возрастающей при $k \in (-1.5; +\infty)$.

Ответ: $k > -1.5$.

б) является убывающей;

Линейная функция является убывающей, если ее угловой коэффициент отрицателен, то есть $m < 0$. Для данной функции это условие принимает вид:

Решим неравенство:

$2k + 3 < 0$

$2k < -3$

$k < -\frac{3}{2}$

$k < -1.5$

Следовательно, функция является убывающей при $k \in (-\infty; -1.5)$.

Ответ: $k < -1.5$.

в) не является ни возрастающей, ни убывающей?

Функция не является ни возрастающей, ни убывающей, когда она постоянна. Это происходит, когда ее угловой коэффициент равен нулю, то есть $m = 0$. В этом случае график функции представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс.

Решим уравнение:

$2k + 3 = 0$

$2k = -3$

$k = -\frac{3}{2}$

$k = -1.5$

При $k = -1.5$ функция принимает вид $y = (2(-1.5) + 3)x - 4 = 0 \cdot x - 4 = -4$. Это уравнение постоянной функции.

Ответ: $k = -1.5$.

16. Число 15 встречается в каждой арифметической прогрессии ($a_n$) и ($b_m$):

1, 8, 15, ..., $a_n$, ...;

9, 15, 21, ..., $b_m$, ... .

Укажите следующее число, которое встретится в обеих прогрессиях, и номер соответствующего члена каждой из этих прогрессий.

Решение. Выразим $a_n$ через первый член и разность прогрессии:

$a_n = \dots$ . Аналогично $b_m = \dots$

По условию $a_n = b_m$, т. е. $\dots$

Выразим отсюда $n$ через $m:$

Выразим $a_n$ через первый член и разность прогрессии

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$: 1, 8, 15, ...
Ее первый член $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d_a = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив значения для прогрессии $(a_n)$, получим:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 7 = 1 + 7n - 7 = 7n - 6$.
Ответ: $a_n = 7n - 6$.

Аналогично $b_m$

Дана арифметическая прогрессия $(b_m)$: 9, 15, 21, ...
Ее первый член $b_1 = 9$.
Разность прогрессии $d_b = b_2 - b_1 = 15 - 9 = 6$.
Подставив значения для прогрессии $(b_m)$ в формулу m-го члена, получим:
$b_m = 9 + (m-1) \cdot 6 = 9 + 6m - 6 = 6m + 3$.
Ответ: $b_m = 6m + 3$.

Укажите следующее число, которое встретится в обеих прогрессиях, и номер соответствующего члена каждой из этих прогрессий

Общие члены двух прогрессий должны удовлетворять равенству $a_n = b_m$.
$7n - 6 = 6m + 3$
$7n - 6m = 9$
Последовательность общих членов двух арифметических прогрессий сама является арифметической прогрессией. Ее разность равна наименьшему общему кратному (НОК) разностей исходных прогрессий.
Разности прогрессий: $d_a = 7$ и $d_b = 6$.
Найдем их НОК. Так как числа 7 и 6 взаимно простые, их НОК равен их произведению:
$\text{НОК}(7, 6) = 7 \times 6 = 42$.
Это означает, что общие члены появляются с шагом 42. По условию, первое общее число равно 15. Чтобы найти следующее общее число, нужно к первому общему числу прибавить найденную разность:
Следующее общее число = $15 + 42 = 57$.
Теперь найдем номера (индексы) этого числа в каждой из исходных прогрессий.
Для прогрессии $(a_n)$ найдем $n$, при котором $a_n = 57$:
$7n - 6 = 57$
$7n = 57 + 6$
$7n = 63$
$n = 9$
Для прогрессии $(b_m)$ найдем $m$, при котором $b_m = 57$:
$6m + 3 = 57$
$6m = 57 - 3$
$6m = 54$
$m = 9$
Ответ: Следующее общее число — 57. Оно является 9-м членом прогрессии $(a_n)$ и 9-м членом прогрессии $(b_m)$.

17. Первый член арифметической прогрессии равен 3. Найдите третий и четвёртый её члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Пусть $a_n$ — искомая арифметическая прогрессия, $d$ — её разность. По условию, первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим третий и четвёртый члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = 3 + 2d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = 3 + 3d$

По условию задачи, $a_3$ и $a_4$ являются квадратами двух последовательных натуральных чисел. Пусть эти числа — $k$ и $k+1$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$).

Разность между четвёртым и третьим членами равна разности прогрессии $d$:
$d = a_4 - a_3$
Если прогрессия возрастающая ($d > 0$), то $a_4 > a_3$, и тогда мы можем положить $a_3 = k^2$ и $a_4 = (k+1)^2$. Если прогрессия убывающая ($d < 0$), то $a_4 < a_3$, и тогда $a_3 = (k+1)^2$ и $a_4 = k^2$. Рассмотрим первый, наиболее вероятный случай.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 3 + 2d = k^2 \\ 3 + 3d = (k+1)^2 \end{cases}$

Для решения системы выразим $d$ из каждого уравнения.
Из первого уравнения: $2d = k^2 - 3 \Rightarrow d = \frac{k^2 - 3}{2}$.
Из второго уравнения: $3d = (k+1)^2 - 3 \Rightarrow d = \frac{(k+1)^2 - 3}{3}$.

Приравняем правые части полученных выражений для $d$:
$\frac{k^2 - 3}{2} = \frac{(k+1)^2 - 3}{3}$

Решим это уравнение относительно $k$. Для этого умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$3(k^2 - 3) = 2((k+1)^2 - 3)$
Раскроем скобки:
$3k^2 - 9 = 2(k^2 + 2k + 1 - 3)$
$3k^2 - 9 = 2(k^2 + 2k - 2)$
$3k^2 - 9 = 2k^2 + 4k - 4$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$, перенеся все члены в левую часть:
$3k^2 - 2k^2 - 4k - 9 + 4 = 0$
$k^2 - 4k - 5 = 0$

Найдём корни этого квадратного уравнения. Можно использовать разложение на множители (подыскиваем два числа, произведение которых равно -5, а сумма равна 4):
$(k-5)(k+1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $k$: $k_1 = 5$ и $k_2 = -1$.

Поскольку по определению $k$ — натуральное число, то значение $k = -1$ не является решением задачи. Следовательно, единственно верное решение — $k=5$.

Теперь мы можем найти искомые члены прогрессии:
$a_3 = k^2 = 5^2 = 25$
$a_4 = (k+1)^2 = (5+1)^2 = 6^2 = 36$

Для проверки найдём разность $d$:
$d = a_4 - a_3 = 36 - 25 = 11$.
Разность положительна ($d=11>0$), что соответствует нашему предположению о возрастающей прогрессии.
Проверим значение первого члена: $a_1 = a_3 - 2d = 25 - 2 \cdot 11 = 25 - 22 = 3$. Это совпадает с условием задачи.

Ответ: третий член прогрессии равен 25, четвёртый — 36.