Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Постройте график функции $y=1,5x^2$.

$D(y)=...................,$

$E(y)=...................,$

$y=0$ при ..................., $y>0$ при ...................,

$y<0$ при ...................,

функция возрастает при ...................,

функция убывает при ...................,

график функции $y=1,5x^2$ симметричен относительно ...................

Для построения графика функции $y=1,5x^2$ сначала составим таблицу значений для нескольких точек:

Расчеты:
$y(-3) = 1,5 \cdot (-3)^2 = 1,5 \cdot 9 = 13,5$
$y(-2) = 1,5 \cdot (-2)^2 = 1,5 \cdot 4 = 6$
$y(-1) = 1,5 \cdot (-1)^2 = 1,5 \cdot 1 = 1,5$
$y(0) = 1,5 \cdot 0^2 = 0$
$y(1) = 1,5 \cdot 1^2 = 1,5$
$y(2) = 1,5 \cdot 2^2 = 1,5 \cdot 4 = 6$
$y(3) = 1,5 \cdot 3^2 = 1,5 \cdot 9 = 13,5$

Далее построим график, отметив вычисленные точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой (параболой).

Теперь закончим записи, основываясь на свойствах функции и ее графике.

D(y) = Функция $y=1.5x^2$ является квадратичной, она определена для всех действительных значений аргумента $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

E(y) = Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а коэффициент $1.5 > 0$, то значение функции $y = 1.5x^2$ также всегда неотрицательно. Минимальное значение достигается при $x=0$ и равно $0$.
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

y = 0 при Решим уравнение $1.5x^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$.
Ответ: $x=0$.

y > 0 при Решим неравенство $1.5x^2 > 0$. Разделив на 1.5, получим $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

y < 0 при Решим неравенство $1.5x^2 < 0$, или $x^2 < 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это неравенство не имеет решений.
Ответ: таких значений $x$ нет.

функция возрастает при График функции — парабола с ветвями вверх и вершиной в начале координат. Функция возрастает на промежутке справа от вершины.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

функция убывает при Функция убывает на промежутке слева от вершины параболы.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

график функции y = 1,5x² симметричен относительно Функция $y(x)=1.5x^2$ является четной, поскольку $y(-x) = 1.5(-x)^2 = 1.5x^2 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Ответ: оси OY (оси ординат).

2. Принадлежит ли графику функции $y=-0,3x^2$ точка:

a) A(10; 30);

б) B(-10; 30);

в) C(10; -30);

г) D(-10; -30)?

Ответ:

a) .........................

б) .........................

в) .........................

г) .........................

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки (x и y) в уравнение функции. Если в результате подстановки мы получим верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Дана функция $y = -0,3x^2$. Проверим каждую точку.

а) A(10; 30)
Подставляем в уравнение функции $x=10$ и $y=30$:
$30 = -0,3 \cdot (10)^2$
$30 = -0,3 \cdot 100$
$30 = -30$
Полученное равенство неверно. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

б) B(–10; 30)
Подставляем в уравнение функции $x=-10$ и $y=30$:
$30 = -0,3 \cdot (-10)^2$
$30 = -0,3 \cdot 100$
$30 = -30$
Полученное равенство неверно. Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

в) C(10; –30)
Подставляем в уравнение функции $x=10$ и $y=-30$:
$-30 = -0,3 \cdot (10)^2$
$-30 = -0,3 \cdot 100$
$-30 = -30$
Полученное равенство верно. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

г) D(–10; –30)
Подставляем в уравнение функции $x=-10$ и $y=-30$:
$-30 = -0,3 \cdot (-10)^2$
$-30 = -0,3 \cdot 100$
$-30 = -30$
Полученное равенство верно. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

3. Пересекает ли параболу $y = 16x^2$ прямая:

а) $y = -16$; б) $y = 1600$; в) $y = 32$?

При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.

Ответ:

а) ......................... б) .........................

в) .........................

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, необходимо приравнять их уравнения и найти решения для $x$. Если решения существуют, то графики пересекаются.

Уравнение параболы: $y = 16x^2$.

а) $y = -16$

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$16x^2 = -16$
Разделим обе части на 16:
$x^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что прямая не пересекает параболу.
Также можно отметить, что ветви параболы $y = 16x^2$ направлены вверх, а её вершина находится в точке $(0; 0)$. Следовательно, все точки параболы имеют неотрицательную ординату ($y \ge 0$), и она не может пересекаться с прямой $y = -16$, которая лежит ниже оси абсцисс.
Ответ: нет, не пересекает.

б) $y = 1600$

Приравняем правые части уравнений:
$16x^2 = 1600$
Разделим обе части на 16:
$x^2 = \frac{1600}{16}$
$x^2 = 100$
Уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt{100} = 10$
$x_2 = -\sqrt{100} = -10$
Следовательно, прямая пересекает параболу в двух точках. Координата $y$ для обеих точек равна 1600.
Координаты точек пересечения: $(10; 1600)$ и $(-10; 1600)$.
Ответ: да, пересекает в точках $(10; 1600)$ и $(-10; 1600)$.

в) $y = 32$

Приравняем правые части уравнений:
$16x^2 = 32$
Разделим обе части на 16:
$x^2 = \frac{32}{16}$
$x^2 = 2$
Уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt{2}$
$x_2 = -\sqrt{2}$
Следовательно, прямая пересекает параболу в двух точках. Координата $y$ для обеих точек равна 32.
Координаты точек пересечения: $(\sqrt{2}; 32)$ и $(-\sqrt{2}; 32)$.
Ответ: да, пересекает в точках $(\sqrt{2}; 32)$ и $(-\sqrt{2}; 32)$.

4. В каких координатных четвертях расположен график функции $y = -8x^2$? Выберите верный ответ.

1. В I и II

2. Во II и III

3. В III и IV

4. В I и IV

Для того чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график функции $y = -8x^2$, проанализируем её свойства.

1. Данная функция является квадратичной, её вид $y = ax^2$. Графиком такой функции является парабола, вершина которой находится в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$.

2. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$. В нашем случае $a = -8$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Так как вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, а её ветви направлены вниз, весь график, за исключением вершины, будет располагаться ниже оси абсцисс (оси Ox).

4. Координатная плоскость делится на четыре четверти:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

5. Проверим знаки $x$ и $y$ для функции $y = -8x^2$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Если $x \neq 0$, то $x^2 > 0$. Тогда значение $y = -8x^2$ будет всегда отрицательным, так как это произведение отрицательного числа $(-8)$ и положительного числа $(x^2)$.

Таким образом, для всех точек графика, кроме вершины, ордината $y$ отрицательна.

• Если $x > 0$ (положительная абсцисса) и $y < 0$ (отрицательная ордината), точка находится в IV четверти.
• Если $x < 0$ (отрицательная абсцисса) и $y < 0$ (отрицательная ордината), точка находится в III четверти.

Следовательно, график функции $y = -8x^2$ расположен в III и IV координатных четвертях.

Ответ: 3. В III и IV

5. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), в которой:

a) $b_3=11$, $b_6=88;$

б) $b_2=-3$, $b_5=81.$

Ответ: a) ......................... б) ........................

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, используя формулу, которая связывает два любых члена прогрессии $b_m$ и $b_k$ (при $m > k$):

$b_m = b_k \cdot q^{m-k}$

Из этой формулы можно выразить $q^{m-k}$:

$q^{m-k} = \frac{b_m}{b_k}$

Далее, чтобы найти $q$, нужно извлечь корень степени $(m-k)$.

а) Дано: $b_3 = 11$, $b_6 = 88$.

В этом случае $m=6$, $k=3$. Подставим эти значения в формулу:

$q^{6-3} = \frac{b_6}{b_3}$

$q^3 = \frac{88}{11}$

$q^3 = 8$

Теперь найдем $q$, извлекая кубический корень из обеих частей уравнения:

$q = \sqrt[3]{8}$

$q = 2$

Ответ: 2

б) Дано: $b_2 = -3$, $b_5 = 81$.

Здесь $m=5$, $k=2$. Подставим значения в формулу:

$q^{5-2} = \frac{b_5}{b_2}$

$q^3 = \frac{81}{-3}$

$q^3 = -27$

Извлечем кубический корень, чтобы найти $q$:

$q = \sqrt[3]{-27}$

$q = -3$

Ответ: -3

6. Встретится ли среди членов геометрической прогрессии

$-3, 6, -12, \dots$

число:

а) 96;

б) -768? При положительном ответе укажите номер этого члена прогрессии.

Для того чтобы определить, являются ли данные числа членами геометрической прогрессии, сначала найдем ее основные параметры: первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из условия задачи имеем первый член прогрессии $b_1 = -3$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{-3} = -2$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получим: $b_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

а) 96

Предположим, что число 96 является n-м членом этой прогрессии. Тогда должно выполняться равенство $b_n = 96$.

Подставим это значение в формулу для n-го члена: $96 = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на -3: $\frac{96}{-3} = (-2)^{n-1}$ $-32 = (-2)^{n-1}$

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, чтобы равенство было верным. Мы знаем, что $(-2)^5 = -32$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степени: $n-1 = 5$ $n = 5 + 1$ $n = 6$

Поскольку $n=6$ является натуральным числом, число 96 является 6-м членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: Да, встретится. Номер этого члена прогрессии — 6.

б) -768

Предположим, что число -768 является n-м членом этой прогрессии. Тогда должно выполняться равенство $b_n = -768$.

Подставим это значение в формулу для n-го члена: $-768 = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на -3: $\frac{-768}{-3} = (-2)^{n-1}$ $256 = (-2)^{n-1}$

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, чтобы равенство было верным. Мы знаем, что $2^8 = 256$. Поскольку основание степени равно -2, а результат положителен, показатель степени должен быть четным. Таким образом, $(-2)^8 = 256$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степени: $n-1 = 8$ $n = 8 + 1$ $n = 9$

Поскольку $n=9$ является натуральным числом, число -768 является 9-м членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: Да, встретится. Номер этого члена прогрессии — 9.

7. Какими числами, положительными или отрицательными, являются члены геометрической прогрессии, стоящие на местах с чётными номерами, если $a_1 < 0$ и $q < 0$?

Ответ: ...................

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

По условию задачи даны:

1. Первый член прогрессии отрицательный: $a_1 < 0$.

2. Знаменатель прогрессии отрицательный: $q < 0$.

Нас интересует знак членов прогрессии, стоящих на местах с четными номерами. Пусть $n$ — четное число. Это означает, что $n$ можно представить как $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

Рассмотрим показатель степени в формуле, $n-1$. Если $n$ — четное число, то $n-1$ будет нечетным числом. Например, для $n=2$ показатель равен $1$; для $n=4$ показатель равен $3$; для $n=6$ показатель равен $5$, и так далее.

Теперь определим знак выражения $q^{n-1}$. Поскольку $q < 0$ (отрицательное число), а показатель степени $n-1$ — нечетное число, то результат возведения в степень также будет отрицательным числом. То есть, $q^{n-1} < 0$.

Наконец, определим знак самого члена прогрессии $a_n$ по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Мы перемножаем два числа: $a_1$ (которое по условию отрицательное) и $q^{n-1}$ (которое, как мы выяснили, тоже отрицательное).

Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.

Следовательно, $a_n = (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$.

Таким образом, все члены данной геометрической прогрессии, стоящие на местах с четными номерами, будут положительными.

Ответ: Члены геометрической прогрессии, стоящие на местах с чётными номерами, являются положительными числами.

8. Найдите пропущенные члены геометрической прогрессии

4, ...., ...., ...., 324.

.........................

.........................

.........................

Ответ: 4, ...., ...., ...., 324

или 4, ...., ...., ...., 324.

Пусть данная геометрическая прогрессия обозначается $(b_n)$. Из условия задачи известно, что ее первый член $b_1 = 4$. В последовательности 4, ..., ..., ..., 324 пропущено три члена, это означает, что число 324 является пятым членом прогрессии ($b_5$).

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Используем эту формулу для нахождения знаменателя $q$, подставив известные значения $b_1=4$ и $b_5=324$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$ $324 = 4 \cdot q^4$

Решим полученное уравнение: $q^4 = \frac{324}{4}$ $q^4 = 81$ Так как показатель степени (4) является четным числом, данное уравнение имеет два действительных корня: $q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$ $q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Таким образом, существуют две возможные геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $q = 3$
Найдем пропущенные члены, последовательно умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q=3$:

• $b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot 3 = 12$
• $b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot 3 = 36$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108$

Прогрессия в этом случае: 4, 12, 36, 108, 324.

Случай 2: $q = -3$
Найдем пропущенные члены, последовательно умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q=-3$:

• $b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot (-3) = -12$
• $b_3 = b_2 \cdot q = (-12) \cdot (-3) = 36$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot (-3) = -108$

Прогрессия в этом случае: 4, -12, 36, -108, 324.

Ответ: Пропущенными членами могут быть либо 12, 36, 108, либо -12, 36, -108. Полные последовательности выглядят так: 4, 12, 36, 108, 324 или 4, -12, 36, -108, 324.