Номер 6, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Встретится ли среди членов геометрической прогрессии

$-3, 6, -12, \dots$

число:

а) 96;

б) -768? При положительном ответе укажите номер этого члена прогрессии.

Для того чтобы определить, являются ли данные числа членами геометрической прогрессии, сначала найдем ее основные параметры: первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из условия задачи имеем первый член прогрессии $b_1 = -3$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{-3} = -2$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получим: $b_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

а) 96

Предположим, что число 96 является n-м членом этой прогрессии. Тогда должно выполняться равенство $b_n = 96$.

Подставим это значение в формулу для n-го члена: $96 = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на -3: $\frac{96}{-3} = (-2)^{n-1}$ $-32 = (-2)^{n-1}$

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, чтобы равенство было верным. Мы знаем, что $(-2)^5 = -32$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степени: $n-1 = 5$ $n = 5 + 1$ $n = 6$

Поскольку $n=6$ является натуральным числом, число 96 является 6-м членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: Да, встретится. Номер этого члена прогрессии — 6.

б) -768

Предположим, что число -768 является n-м членом этой прогрессии. Тогда должно выполняться равенство $b_n = -768$.

Подставим это значение в формулу для n-го члена: $-768 = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на -3: $\frac{-768}{-3} = (-2)^{n-1}$ $256 = (-2)^{n-1}$

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, чтобы равенство было верным. Мы знаем, что $2^8 = 256$. Поскольку основание степени равно -2, а результат положителен, показатель степени должен быть четным. Таким образом, $(-2)^8 = 256$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степени: $n-1 = 8$ $n = 8 + 1$ $n = 9$

Поскольку $n=9$ является натуральным числом, число -768 является 9-м членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: Да, встретится. Номер этого члена прогрессии — 9.