Номер 10, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. В равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 32 см вписан новый треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Найдите периметр девятого треугольника.

Решение.

Решение.

Пусть $T_1$ — это исходный равносторонний треугольник $ABC$. По условию задачи, длина его стороны составляет $a_1 = 32$ см. Найдем периметр этого треугольника, обозначив его как $P_1$:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 32 = 96$ см.

Второй треугольник, назовем его $T_2$, вписан в $T_1$ таким образом, что его вершины являются серединами сторон треугольника $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией для треугольника $T_1$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Так как $T_1$ — равносторонний, все его стороны равны, следовательно, все стороны $T_2$ также равны между собой, и $T_2$ тоже является равносторонним. Найдем длину стороны $a_2$ и периметр $P_2$ второго треугольника:
$a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Аналогично, третий треугольник $T_3$ будет вписан во второй, и его периметр $P_3$ будет в два раза меньше периметра $P_2$:
$P_3 = \frac{P_2}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Таким образом, периметры последовательно вписанных треугольников $P_1, P_2, P_3, \dots$ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = P_1 = 96$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}$.

Для нахождения периметра девятого треугольника ($P_9$) воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $n=9$, $b_1 = 96$ и $q = \frac{1}{2}$.
$P_9 = P_1 \cdot q^{9-1} = P_1 \cdot q^8 = 96 \cdot (\frac{1}{2})^8$.
Вычислим $2^8$: $2^8 = 256$.
$P_9 = 96 \cdot \frac{1}{256} = \frac{96}{256}$.

Теперь сократим полученную дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители или найдем их наибольший общий делитель. $96 = 32 \cdot 3$, а $256 = 32 \cdot 8$.
$P_9 = \frac{3 \cdot 32}{8 \cdot 32} = \frac{3}{8}$ см.

Ответ: $\frac{3}{8}$ см.