Номер 9, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Известно, что $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, все члены которой положительные числа. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

a) $3b_1, 3b_2, 3b_3, ...;$

б) $\sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \sqrt{b_3}, ...;$

в) $b_1^2, b_2^2, b_3^2, ...?$

Ответ: a) ......................... б) ......................... в) .........................

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем прогрессии.
Пусть исходная последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$, или, что то же самое, $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.
По условию все члены прогрессии $(b_n)$ — положительные числа ($b_n > 0$). Это означает, что первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1}$ также должен быть положительным ($q > 0$).

а) Рассмотрим последовательность $c_n = 3b_n$. Ее члены: $3b_1, 3b_2, 3b_3, \dots$.
Чтобы проверить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдем отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3b_{n+1}}{3b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.
Следовательно, отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ равно $q$ для любого $n$, то есть является постоянной величиной.
Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим последовательность $d_n = \sqrt{b_n}$. Ее члены: $\sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \sqrt{b_3}, \dots$.
Поскольку по условию все $b_n > 0$, извлечение квадратного корня является корректной операцией, и все члены $d_n$ будут положительными действительными числами.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену:
$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{\sqrt{b_{n+1}}}{\sqrt{b_n}} = \sqrt{\frac{b_{n+1}}{b_n}}$.
Используя тот факт, что $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, получаем:
$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \sqrt{q}$.
Так как $q$ — постоянная положительная величина, то $\sqrt{q}$ также является постоянной положительной величиной.
Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

в) Рассмотрим последовательность $e_n = b_n^2$. Ее члены: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену:
$\frac{e_{n+1}}{e_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^2$.
Так как $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, то:
$\frac{e_{n+1}}{e_n} = q^2$.
Величина $q^2$ является постоянной для любого $n$.
Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.