Номер 11, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии $3\frac{1}{3}, 10, 30, \ldots$ будут больше 1000?

Для решения задачи сначала определим параметры данной геометрической прогрессии. Пусть ($b_n$) — данная прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 3\frac{1}{3}$. Переведем его в неправильную дробь:$b_1 = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Второй член прогрессии $b_2 = 10$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{\frac{10}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3$.

Общая формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии:$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения $b_1$ и $q$ в формулу:$b_n = \frac{10}{3} \cdot 3^{n-1}$.

Используя свойство степеней ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), можно упростить это выражение:$b_n = 10 \cdot 3^{-1} \cdot 3^{n-1} = 10 \cdot 3^{n-1-1} = 10 \cdot 3^{n-2}$.

Нам нужно найти номер $n$, начиная с которого члены прогрессии будут больше 1000. Для этого составим и решим неравенство $b_n > 1000$:$10 \cdot 3^{n-2} > 1000$.

Разделим обе части неравенства на 10:$3^{n-2} > 100$.

Чтобы найти $n$, определим, какая степень числа 3 будет больше 100. Рассмотрим степени числа 3:$3^1 = 3$$3^2 = 9$$3^3 = 27$$3^4 = 81$$3^5 = 243$

Мы видим, что $3^4 = 81$ (что меньше 100), а $3^5 = 243$ (что больше 100).Следовательно, показатель степени $(n-2)$ должен быть как минимум равен 5, чтобы неравенство выполнялось. Так как $n$ — это натуральное число (номер члена прогрессии), то:$n - 2 \ge 5$$n \ge 5 + 2$$n \ge 7$.

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 7.Таким образом, начиная с 7-го члена, члены прогрессии будут больше 1000.

Проверим:$b_6 = 10 \cdot 3^{6-2} = 10 \cdot 3^4 = 10 \cdot 81 = 810$. ($810 < 1000$)$b_7 = 10 \cdot 3^{7-2} = 10 \cdot 3^5 = 10 \cdot 243 = 2430$. ($2430 > 1000$)

Ответ: 7.