Номер 15, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что сумма крайних из них равна 112, а сумма средних равна 48.

Пусть четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$.

Члены геометрической прогрессии можно выразить через ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

$b_1, \quad b_2 = b_1 q, \quad b_3 = b_1 q^2, \quad b_4 = b_1 q^3$.

По условию задачи, сумма крайних членов ($b_1$ и $b_4$) равна 112, а сумма средних членов ($b_2$ и $b_3$) равна 48. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_4 = 112 \\ b_2 + b_3 = 48 \end{cases} $

Подставим в эту систему выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1 + b_1 q^3 = 112 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 48 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1(1 + q^3) = 112 & (1) \\ b_1 q(1 + q) = 48 & (2) \end{cases} $

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), при условии, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0, q \neq -1$:

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{112}{48}$

В левой части сократим $b_1$. Для числителя используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, что дает $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$. В правой части сократим дробь: $\frac{112}{48} = \frac{7 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{7}{3}$.

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{7}{3}$

После сокращения общего множителя $(1+q)$ в левой части, получим:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{7}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции:

$3(1 - q + q^2) = 7q$

$3 - 3q + 3q^2 = 7q$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$q_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$q_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ для каждого из найденных значений $q$.

1. Если $q = 3$, подставим это значение в уравнение (2): $b_1 \cdot 3(1 + 3) = 48$. Это упрощается до $12b_1 = 48$, откуда $b_1 = 4$. Тогда искомые числа: $4, 4 \cdot 3, 4 \cdot 3^2, 4 \cdot 3^3$, то есть последовательность 4, 12, 36, 108.

2. Если $q = \frac{1}{3}$, подставим это значение в уравнение (2): $b_1 \cdot \frac{1}{3}(1 + \frac{1}{3}) = 48$. Это упрощается до $b_1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = 48$, или $b_1 \cdot \frac{4}{9} = 48$, откуда $b_1 = 48 \cdot \frac{9}{4} = 108$. Тогда искомые числа: $108, 108 \cdot \frac{1}{3}, 108 \cdot (\frac{1}{3})^2, 108 \cdot (\frac{1}{3})^3$, то есть последовательность 108, 36, 12, 4.

Оба случая дают один и тот же набор чисел. Проверим, удовлетворяет ли он условиям: сумма крайних членов $4 + 108 = 112$, сумма средних членов $12 + 36 = 48$. Условия выполняются.

Ответ: 4, 12, 36, 108 или 108, 36, 12, 4.