Номер 5, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой $b_2=2$, $b_5=-16$.

Решение. Найдём знаменатель прогрессии $q$ из условия $b_5=b_2q^3$.

Решение.

По условию задачи нам дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой второй член $b_2=2$ и пятый член $b_5=-16$. Нам необходимо найти сумму первых десяти членов этой прогрессии ($S_{10}$).

Сначала найдём знаменатель прогрессии $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$. Связь между пятым и вторым членами можно выразить так: $b_5 = b_2 \cdot q^{5-2} = b_2 \cdot q^3$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$-16 = 2 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 2:

$q^3 = \frac{-16}{2}$

$q^3 = -8$

Отсюда находим $q$:

$q = \sqrt[3]{-8} = -2$

Теперь, зная знаменатель $q$, найдём первый член прогрессии $b_1$. Мы знаем, что $b_2 = b_1 \cdot q$.

Подставим значения $b_2$ и $q$:

$2 = b_1 \cdot (-2)$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{2}{-2} = -1$

Теперь у нас есть всё необходимое для вычисления суммы первых десяти членов прогрессии. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в неё наши значения: $b_1 = -1$, $q = -2$ и $n = 10$.

$S_{10} = \frac{-1 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим значение в скобках:

$(-2)^{10} = 1024$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_{10} = \frac{-1 \cdot (1024 - 1)}{-3} = \frac{-1 \cdot 1023}{-3} = \frac{-1023}{-3}$

$S_{10} = 341$

Ответ: 341