Номер 7, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Найдите пропущенные члены $b_2$ и $b_3$ геометрической прогрессии

$\frac{1}{81}$, $b_2$, $b_3$, $\frac{1}{3}$, ... и вычислите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Решение.

Выразим член $b_4$, равный $\frac{1}{3}$, через $b_1$ и $q$:

Найдем пропущенные члены $b_2$ и $b_3$

Дана геометрическая прогрессия, в которой нам известны первый член $b_1 = \frac{1}{81}$ и четвертый член $b_4 = \frac{1}{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для четвертого члена прогрессии, чтобы найти знаменатель $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{81} \cdot q^3$

Выразим из этого уравнения $q^3$:
$q^3 = \frac{1}{3} \div \frac{1}{81} = \frac{1}{3} \cdot 81 = 27$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:
$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь, зная знаменатель, можем найти пропущенные члены $b_2$ и $b_3$:
$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{81} \cdot 3 = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$
$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{27} \cdot 3 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Ответ: $b_2 = \frac{1}{27}$, $b_3 = \frac{1}{9}$.

Вычислим сумму первых шести членов этой прогрессии

Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае необходимо найти сумму первых шести членов ($n=6$), при известных $b_1 = \frac{1}{81}$ и $q=3$.

Подставим значения в формулу:
$S_6 = \frac{\frac{1}{81}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Произведем вычисления:
$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$
$S_6 = \frac{\frac{1}{81}(729 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{81} \cdot 728}{2}$

$S_6 = \frac{728}{81 \cdot 2} = \frac{364}{81}$

Данная дробь является несократимой, так как 364 не делится на 3 (сумма цифр 3+6+4=13), а 81 делится только на 3.

Ответ: $S_6 = \frac{364}{81}$.