Номер 10, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно, что $\frac{b_1+b_2}{b_2+b_3} = 2$ и сумма первых трех членов равна 10,5.

Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, каждый член прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на $q$. Таким образом, мы можем выразить $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Используем первое условие задачи: $\frac{b_1 + b_2}{b_2 + b_3} = 2$.
Подставим в это уравнение выражения для $b_2$ и $b_3$:
$\frac{b_1 + b_1q}{b_1q + b_1q^2} = 2$
В числителе и знаменателе вынесем за скобки общие множители:
$\frac{b_1(1 + q)}{b_1q(1 + q)} = 2$
Поскольку сумма первых трёх членов прогрессии равна 10,5, то $b_1 \neq 0$. Также, если $q = -1$, знаменатель дроби $b_2 + b_3$ обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, мы можем сократить дробь на $b_1$ и $(1 + q)$:
$\frac{1}{q} = 2$
Отсюда находим знаменатель прогрессии:
$q = \frac{1}{2}$

Теперь используем второе условие: сумма первых трёх членов равна 10,5.
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 10,5$
Выразим эту сумму через $b_1$ и $q$:
$b_1(1 + q + q^2) = 10,5$
Подставим найденное значение $q = \frac{1}{2}$:
$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 10,5$
$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 10,5$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$b_1(\frac{4 + 2 + 1}{4}) = 10,5$
$b_1(\frac{7}{4}) = 10,5$
Выразим $b_1$:
$b_1 = 10,5 \cdot \frac{4}{7}$
Представим 10,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{21}{2}$:
$b_1 = \frac{21}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{21 \cdot 4}{2 \cdot 7} = 3 \cdot 2 = 6$

Мы нашли первый член прогрессии $b_1 = 6$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Теперь можем найти сумму первых восьми членов прогрессии $S_8$.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$
Подставим наши значения $n=8$, $b_1=6$ и $q=\frac{1}{2}$:
$S_8 = \frac{6(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}}$
Сначала вычислим $(\frac{1}{2})^8$:
$(\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$
Теперь подставим это значение в формулу:
$S_8 = \frac{6(1 - \frac{1}{256})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{6(\frac{255}{256})}{\frac{1}{2}}$
Чтобы разделить на $\frac{1}{2}$, умножим на 2:
$S_8 = 6 \cdot \frac{255}{256} \cdot 2 = 12 \cdot \frac{255}{256}$
Сократим полученное выражение на 4:
$S_8 = 3 \cdot \frac{255}{64} = \frac{3 \cdot 255}{64} = \frac{765}{64}$

Ответ: $\frac{765}{64}$