Номер 8, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Докажите, что последовательность $(c_n)$, где $c_n = 4 \cdot 3^n$, является геометрической прогрессией, и вычислите сумму первых шести её членов.

Доказательство, что последовательность является геометрической прогрессией

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Нам дана последовательность с общим членом $c_n = 4 \cdot 3^n$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$: $c_{n+1} = 4 \cdot 3^{n+1}$.

Теперь найдем отношение $c_{n+1}$ к $c_n$:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{4 \cdot 3^{n+1}}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$.

Так как отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ равно постоянному числу $3$ для любого натурального $n$, данная последовательность $(c_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$, что и требовалось доказать.

Ответ: последовательность $(c_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$, так как отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ является постоянной величиной.

Вычисление суммы первых шести её членов

Сумма первых $k$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_k = \frac{c_1(q^k - 1)}{q - 1}$.

Нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $k=6$. Из первой части мы уже знаем знаменатель прогрессии $q=3$.

Найдем первый член прогрессии $c_1$, подставив $n=1$ в формулу общего члена:

$c_1 = 4 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Теперь подставим все известные значения в формулу суммы:

$S_6 = \frac{c_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{12(3^6 - 1)}{3 - 1}$.

Вычислим значение $3^6 = 729$ и подставим его в формулу:

$S_6 = \frac{12(729 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 728}{2} = 6 \cdot 728 = 4368$.

Ответ: 4368.