Номер 9, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. В геометрической прогрессии первый член равен $\frac{1}{8}$, а третий равен $\frac{1}{2}$. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

Рассмотрите случаи:

а) все члены прогрессии положительны;

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные члены.

Пусть $b_n$ - n-й член геометрической прогрессии, $q$ - ее знаменатель. По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{8}$, а третий член $b_3 = \frac{1}{2}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Используя эту формулу для третьего члена, получаем: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$. Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot q^2$

Отсюда выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{1}{2} : \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = 4$

Из этого уравнения следует, что знаменатель прогрессии может принимать два значения: $q = 2$ или $q = -2$. Рассмотрим оба случая, указанные в задаче.

а) все члены прогрессии положительны;

Для того чтобы все члены прогрессии были положительными, при положительном первом члене ($b_1 = \frac{1}{8} > 0$) знаменатель $q$ также должен быть положительным. Следовательно, в этом случае мы выбираем $q = 2$.

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии найдем по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Нам нужно найти сумму первых восьми членов ($n=8$):

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{1} = \frac{1}{8} \cdot 255 = \frac{255}{8}$.

Это значение можно также представить в виде смешанной дроби $31\frac{7}{8}$.

Ответ: $S_8 = \frac{255}{8}$

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные члены.

Если знаки членов прогрессии чередуются, то при положительном первом члене ($b_1 = \frac{1}{8} > 0$) знаменатель $q$ должен быть отрицательным. Следовательно, в этом случае мы выбираем $q = -2$.

Используем ту же формулу для суммы первых восьми членов:

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}((-2)^8 - 1)}{-2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{-3} = \frac{\frac{255}{8}}{-3} = -\frac{255}{8 \cdot 3}$.

Сократим дробь на 3 ($255 : 3 = 85$):

$S_8 = -\frac{85}{8}$.

Это значение можно также представить в виде смешанной дроби $-10\frac{5}{8}$.

Ответ: $S_8 = -\frac{85}{8}$