Номер 12, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. В геометрической прогрессии разность седьмого и пятого членов равна 48 и сумма шестого и пятого членов также равна 48. Найдите число $n$ членов этой прогрессии, если известно, что $S_n=1023$.

Пусть $b_1$ - первый член геометрической прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Тогда n-й член прогрессии $b_n$ вычисляется по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:
$b_7 - b_5 = 48$
$b_6 + b_5 = 48$

1. Нахождение знаменателя прогрессии $q$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:
$b_7 = b_1 q^6$
$b_6 = b_1 q^5$
$b_5 = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:
1) $b_1 q^6 - b_1 q^4 = 48 \implies b_1 q^4(q^2 - 1) = 48$
2) $b_1 q^5 + b_1 q^4 = 48 \implies b_1 q^4(q + 1) = 48$

Так как правые части обоих уравнений равны 48, мы можем приравнять их левые части. Заметим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, иначе члены прогрессии были бы равны нулю, что противоречит условию.
$b_1 q^4(q^2 - 1) = b_1 q^4(q + 1)$

Разделим обе части на $b_1 q^4$:
$q^2 - 1 = q + 1$
$q^2 - q - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета:
$q_1 + q_2 = 1$
$q_1 \cdot q_2 = -2$
Отсюда $q_1 = 2$ и $q_2 = -1$.

Проверим, могут ли оба корня быть решением. Подставим $q=-1$ во второе исходное уравнение $b_1 q^4(q + 1) = 48$:
$b_1 (-1)^4(-1 + 1) = 48$
$b_1 \cdot 1 \cdot 0 = 48$
$0 = 48$
Получено неверное равенство, следовательно, $q=-1$ не является решением.
Таким образом, знаменатель прогрессии $q = 2$.

2. Нахождение первого члена прогрессии $b_1$

Теперь, зная $q=2$, найдем $b_1$ из любого из уравнений. Воспользуемся вторым:
$b_1 q^4(q + 1) = 48$
$b_1 \cdot 2^4(2 + 1) = 48$
$b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 48$
$48 b_1 = 48$
$b_1 = 1$

3. Нахождение числа членов прогрессии $n$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.
По условию $S_n = 1023$. Подставим известные значения $b_1=1$ и $q=2$:
$1023 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$
$1023 = \frac{2^n - 1}{1}$
$1023 = 2^n - 1$

Выразим $2^n$:
$2^n = 1023 + 1$
$2^n = 1024$

Мы знаем, что $1024 = 2^{10}$.
Следовательно, $n = 10$.

Ответ: $10$.