Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

2. Изобразите схематически график функции $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$, определив предварительно координаты вершины параболы $A(m; n)$ и направление её ветвей.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$ необходимо предварительно определить координаты вершины параболы и направление её ветвей.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y = ax^2 + bx + c$, с коэффициентами $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{4}{3}$, $c = -\frac{8}{3}$.

Направление её ветвей
Поскольку старший коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы A(m; n)
Абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле $m = -\frac{b}{2a}$. $m = -\frac{-\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Для нахождения ординаты (координаты y) вершины подставим найденное значение $m=2$ в уравнение функции: $n = y(2) = \frac{1}{3}(2)^2 - \frac{4}{3}(2) - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4 - 8 - 8}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $A(2; -4)$.

Для более точного построения найдем точки пересечения графика с осями координат.
При $x=0$, $y = -\frac{8}{3} \approx -2.7$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{8}{3})$.
При $y=0$, получаем уравнение $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} = 0$, или $x^2 - 4x - 8 = 0$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
$x_1 \approx 2 - 3.5 = -1.5$, $x_2 \approx 2 + 3.5 = 5.5$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1.5; 0)$ и $(5.5; 0)$.

Ответ:
Схематический график функции, построенный на основе найденных данных (вершина $A(2; -4)$, ветви вверх, точки пересечения с осями).

3. Запишите уравнение оси симметрии параболы:

а) $y = 2x^2 - 11x + 6: \dots;$

б) $y = 3x^2 + 8x - 12: \dots;$

в) $y = -4x^2 + 5x + 1: \dots.$

Уравнение оси симметрии для параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, представляет собой вертикальную прямую, проходящую через вершину параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле:
$x = x_0 = -\frac{b}{2a}$
Это и есть уравнение оси симметрии.

Для параболы $y = 2x^2 - 11x + 6$ имеем коэффициенты: $a = 2$, $b = -11$.
Подставим эти значения в формулу для нахождения уравнения оси симметрии:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-11}{2 \cdot 2} = \frac{11}{4}$
Уравнение можно также записать в виде десятичной дроби: $x = 2.75$.
Ответ: $x = \frac{11}{4}$

Для параболы $y = 3x^2 + 8x - 12$ имеем коэффициенты: $a = 3$, $b = 8$.
Подставим эти значения в формулу:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 3} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$
Уравнение можно также записать в виде смешанной дроби: $x = -1\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{4}{3}$

Для параболы $y = -4x^2 + 5x + 1$ имеем коэффициенты: $a = -4$, $b = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-4)} = -\frac{5}{-8} = \frac{5}{8}$
Уравнение можно также записать в виде десятичной дроби: $x = 0.625$.
Ответ: $x = \frac{5}{8}$

4. Докажите, что парабола $y=2x^2-3x+7$ и прямая $x-y=2$ не пересекаются.

Для того чтобы доказать, что парабола $y = 2x^2 - 3x + 7$ и прямая $x - y = 2$ не пересекаются, необходимо показать, что система уравнений, описывающих эти графики, не имеет действительных решений.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases}y = 2x^2 - 3x + 7 \\x - y = 2\end{cases}$

Для решения этой системы выразим переменную y из второго уравнения (уравнения прямой):

$y = x - 2$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение (уравнение параболы):

$x - 2 = 2x^2 - 3x + 7$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в правую часть:

$0 = 2x^2 - 3x - x + 7 + 2$

$2x^2 - 4x + 9 = 0$

Наличие или отсутствие точек пересечения зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней можно определить по знаку дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для уравнения $2x^2 - 4x + 9 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -4$, $c = 9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 16 - 72 = -56$

Так как дискриминант $D = -56$ является отрицательным числом ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения x, при котором бы совпадали значения y для параболы и прямой. Следовательно, у графиков нет общих точек.

Ответ: Дискриминант квадратного уравнения, полученного при поиске общих точек параболы и прямой, равен -56. Так как дискриминант отрицателен, система уравнений не имеет действительных решений, а значит, парабола и прямая не пересекаются.

5. Постройте график функции $y=x^2-4x+7$.

Решение. Найдём координаты вершины параболы $A(m; n)$:

$m = \ldots$

Для построения графика квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 7$ необходимо выполнить несколько шагов: найти координаты вершины параболы, определить направление её ветвей, вычислить координаты нескольких дополнительных точек и нанести их на координатную плоскость.

Решение. Найдём координаты вершины параболы A(m; n):

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-4$, $c=7$.

Абсцисса вершины $m$ вычисляется по формуле $m = -\frac{b}{2a}$.

$m = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Ордината вершины $n$ — это значение функции в точке $x=m$:

$n = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке A(2; 3).

Ответ: $m=2$; $n=3$.

Ветви параболы направлены вверх.

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы направлены вверх.

Ответ: вверх.

Заполним таблицу:

Для построения графика найдем значения функции для нескольких точек, симметричных относительно оси параболы $x=2$.

Ответ: Таблица значений заполнена.

Построение графика функции $y=x^2-4x+7$:

На координатной плоскости отметим вершину A(2; 3) и точки из таблицы: (0; 7), (1; 4), (3; 4), (4; 7). Соединим их плавной кривой, чтобы получить искомый график.

Ответ: График функции построен.

11. В геометрической прогрессии разность между третьим и первым членами равна 15, а разность между пятым и третьим членами равна 240. Найдите сумму первых шести членов этой геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, разность между третьим и первым членами равна 15. Запишем это в виде уравнения:

$b_3 - b_1 = 15$

Подставим в это уравнение формулу n-го члена:

$b_1 q^{3-1} - b_1 = 15$

$b_1 q^2 - b_1 = 15$

$b_1(q^2 - 1) = 15$ (1)

Также, по условию, разность между пятым и третьим членами равна 240:

$b_5 - b_3 = 240$

Снова подставим формулу n-го члена:

$b_1 q^{5-1} - b_1 q^{3-1} = 240$

$b_1 q^4 - b_1 q^2 = 240$

$b_1 q^2(q^2 - 1) = 240$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1(q^2 - 1) = 15 \\ b_1 q^2(q^2 - 1) = 240 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это допустимо, так как правая часть первого уравнения (15) не равна нулю, что означает $b_1 \neq 0$ и $q^2 - 1 \neq 0$.

$\frac{b_1 q^2(q^2 - 1)}{b_1(q^2 - 1)} = \frac{240}{15}$

После сокращения получаем:

$q^2 = 16$

Отсюда следует, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два значения: $q = 4$ или $q = -4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q^2 = 16$ в первое уравнение:

$b_1(16 - 1) = 15$

$15 b_1 = 15$

$b_1 = 1$

Нам необходимо найти сумму первых шести членов прогрессии ($S_6$). Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Рассмотрим оба возможных случая для $q$.

1. Если $q = 4$:

$S_6 = \frac{1 \cdot (4^6 - 1)}{4 - 1} = \frac{4096 - 1}{3} = \frac{4095}{3} = 1365$.

2. Если $q = -4$:

$S_6 = \frac{1 \cdot ((-4)^6 - 1)}{-4 - 1} = \frac{4096 - 1}{-5} = \frac{4095}{-5} = -819$.

Оба случая удовлетворяют условиям задачи, следовательно, существуют две такие прогрессии. Поэтому задача имеет два решения.

Ответ: 1365 или -819.

12. В геометрической прогрессии разность седьмого и пятого членов равна 48 и сумма шестого и пятого членов также равна 48. Найдите число $n$ членов этой прогрессии, если известно, что $S_n=1023$.

Пусть $b_1$ - первый член геометрической прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Тогда n-й член прогрессии $b_n$ вычисляется по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:
$b_7 - b_5 = 48$
$b_6 + b_5 = 48$

1. Нахождение знаменателя прогрессии $q$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:
$b_7 = b_1 q^6$
$b_6 = b_1 q^5$
$b_5 = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в систему уравнений:
1) $b_1 q^6 - b_1 q^4 = 48 \implies b_1 q^4(q^2 - 1) = 48$
2) $b_1 q^5 + b_1 q^4 = 48 \implies b_1 q^4(q + 1) = 48$

Так как правые части обоих уравнений равны 48, мы можем приравнять их левые части. Заметим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, иначе члены прогрессии были бы равны нулю, что противоречит условию.
$b_1 q^4(q^2 - 1) = b_1 q^4(q + 1)$

Разделим обе части на $b_1 q^4$:
$q^2 - 1 = q + 1$
$q^2 - q - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета:
$q_1 + q_2 = 1$
$q_1 \cdot q_2 = -2$
Отсюда $q_1 = 2$ и $q_2 = -1$.

Проверим, могут ли оба корня быть решением. Подставим $q=-1$ во второе исходное уравнение $b_1 q^4(q + 1) = 48$:
$b_1 (-1)^4(-1 + 1) = 48$
$b_1 \cdot 1 \cdot 0 = 48$
$0 = 48$
Получено неверное равенство, следовательно, $q=-1$ не является решением.
Таким образом, знаменатель прогрессии $q = 2$.

2. Нахождение первого члена прогрессии $b_1$

Теперь, зная $q=2$, найдем $b_1$ из любого из уравнений. Воспользуемся вторым:
$b_1 q^4(q + 1) = 48$
$b_1 \cdot 2^4(2 + 1) = 48$
$b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 48$
$48 b_1 = 48$
$b_1 = 1$

3. Нахождение числа членов прогрессии $n$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.
По условию $S_n = 1023$. Подставим известные значения $b_1=1$ и $q=2$:
$1023 = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$
$1023 = \frac{2^n - 1}{1}$
$1023 = 2^n - 1$

Выразим $2^n$:
$2^n = 1023 + 1$
$2^n = 1024$

Мы знаем, что $1024 = 2^{10}$.
Следовательно, $n = 10$.

Ответ: $10$.