Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. При каком значении $a$ осью симметрии параболы $y = ax^2 - 12x + 3$ является прямая $x = -1$?

Ось симметрии параболы, заданной уравнением в виде $y = Ax^2 + Bx + C$, является вертикальной прямой, которая проходит через вершину параболы. Уравнение этой прямой находится по формуле абсциссы вершины: $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 - 12x + 3$. Сравнивая его с общим видом, определяем коэффициенты: $A = a$, $B = -12$, $C = 3$.

Теперь подставим значения коэффициентов $A$ и $B$ в формулу для нахождения оси симметрии: $x_0 = -\frac{-12}{2a} = \frac{12}{2a} = \frac{6}{a}$.

По условию задачи, осью симметрии является прямая $x = -1$. Это означает, что $x_0 = -1$. Приравниваем полученное выражение для $x_0$ к заданному значению: $\frac{6}{a} = -1$.

Осталось решить это уравнение относительно $a$: $6 = -1 \cdot a$ $a = -6$.

Ответ: $a = -6$.

7. При каких значениях $b$ и $c$ точка $N(-1; -10)$ является вершиной параболы $y = 2x^2 + bx + c$?

Уравнение параболы дано в виде $y = 2x^2 + bx + c$. Из этого уравнения следует, что коэффициент при старшем члене $a = 2$. Вершина параболы находится в точке $N(-1; -10)$. Обозначим координаты вершины как $(x_0, y_0)$, тогда $x_0 = -1$ и $y_0 = -10$.

Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Подставим известные значения $x_0 = -1$ и $a = 2$ в эту формулу, чтобы найти коэффициент $b$:
$-1 = -\frac{b}{2 \cdot 2}$
$-1 = -\frac{b}{4}$
Отсюда, умножая обе части на -4, находим $b$:
$b = 4$

Теперь, зная коэффициент $b$, мы можем найти коэффициент $c$. Поскольку точка $N(-1; -10)$ лежит на параболе, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x = -1$, $y = -10$ и найденное значение $b = 4$ в уравнение параболы:
$y = 2x^2 + bx + c$
$-10 = 2(-1)^2 + 4(-1) + c$
$-10 = 2(1) - 4 + c$
$-10 = 2 - 4 + c$
$-10 = -2 + c$
$c = -10 + 2$
$c = -8$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $b=4$ и $c=-8$.
Ответ: $b = 4, c = -8$.

8. Найдите значение c, при котором наибольшее значение функции $y = -2x^2 + x + c$ равно 1.

Данная функция $y = -2x^2 + x + c$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что является отрицательным числом, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координаты вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, можно найти по следующим формулам:

Абсцисса (координата x) вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината (координата y) вершины: $y_0 = y(x_0)$

В нашем случае, для функции $y = -2x^2 + x + c$, коэффициенты равны: $a = -2$, $b = 1$.

Сначала найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$

Наибольшее значение функции — это ордината вершины $y_0$. Чтобы найти ее, подставим значение $x_0 = \frac{1}{4}$ в уравнение функции:

$y_0 = -2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{4} + c$

Выполним вычисления:

$y_0 = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + c$

$y_0 = -\frac{2}{16} + \frac{1}{4} + c$

Сократим дробь $-\frac{2}{16}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$y_0 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + c$

$y_0 = \frac{1}{8} + c$

Согласно условию задачи, наибольшее значение функции равно 1. Следовательно, $y_0 = 1$. Мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{1}{8} + c = 1$

Найдем $c$:

$c = 1 - \frac{1}{8}$

$c = \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

$c = \frac{7}{8}$

Таким образом, при $c = \frac{7}{8}$ наибольшее значение функции $y = -2x^2 + x + c$ равно 1.

Ответ: $c = \frac{7}{8}$

9. Найдите область значений функции:

а) $y = 2x^2 - 0,8x + 0,01$;

б) $y = -x^2 + 3x + 1,75$.

а) $y = 2x^2 - 0,8x + 0,01$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола. Область значений квадратичной функции зависит от направления ветвей параболы и ординаты ее вершины.

Коэффициент при $x^2$ в данном уравнении $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a = 2$ и $b = -0,8$. Подставим эти значения в формулу:

$x_v = -\frac{-0,8}{2 \cdot 2} = \frac{0,8}{4} = 0,2$

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив найденное значение $x_v$ в исходное уравнение функции:

$y_v = 2(0,2)^2 - 0,8(0,2) + 0,01 = 2 \cdot 0,04 - 0,16 + 0,01 = 0,08 - 0,16 + 0,01 = -0,07$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-0,07$. Область значений функции — это все числа от $-0,07$ включительно до плюс бесконечности.

Ответ: $[-0,07; +\infty)$.

б) $y = -x^2 + 3x + 1,75$

Это также квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по той же формуле:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

В этом случае $a = -1$ и $b = 3$:

$x_v = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{-2} = 1,5$

Найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = 1,5$ в уравнение функции:

$y_v = -(1,5)^2 + 3 \cdot 1,5 + 1,75 = -2,25 + 4,5 + 1,75 = 2,25 + 1,75 = 4$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $4$. Область значений функции — это все числа от минус бесконечности до $4$ включительно.

Ответ: $(-\infty; 4]$.

1. Найдите значение выражения:

а) $1\frac{2}{5} + 2\frac{1}{6} - 1\frac{1}{2} =$

б) $9\frac{5}{12} - 2\frac{8}{15} + 1\frac{2}{3} =$

в) $6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4} + 2\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{3} =$

г) $25\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{11} + 12\frac{3}{5} : 2,1 =$

а) $1\frac{2}{5} + 2\frac{1}{6} - 1\frac{1}{2}$

Для решения этого выражения можно работать с целыми и дробными частями отдельно.

1. Сгруппируем целые и дробные части:

$(1 + 2 - 1) + (\frac{2}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2})$

2. Вычислим сумму и разность целых частей:

$1 + 2 - 1 = 2$

3. Вычислим сумму и разность дробных частей. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 5, 6 и 2 равно 30.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 6}{30} + \frac{1 \cdot 5}{30} - \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{12 + 5 - 15}{30} = \frac{17 - 15}{30} = \frac{2}{30}$

4. Сократим полученную дробь:

$\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

5. Сложим результат целой и дробной частей:

$2 + \frac{1}{15} = 2\frac{1}{15}$

Ответ: $2\frac{1}{15}$

б) $9\frac{5}{12} - 2\frac{8}{15} + 1\frac{2}{3}$

Решим это выражение, также сгруппировав целые и дробные части.

1. Сгруппируем целые и дробные части:

$(9 - 2 + 1) + (\frac{5}{12} - \frac{8}{15} + \frac{2}{3})$

2. Вычислим целую часть:

$9 - 2 + 1 = 8$

3. Вычислим дробную часть. Найдем общий знаменатель для 12, 15 и 3. Наименьшее общее кратное равно 60.

$\frac{5}{12} - \frac{8}{15} + \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 5}{60} - \frac{8 \cdot 4}{60} + \frac{2 \cdot 20}{60} = \frac{25 - 32 + 40}{60}$

Чтобы избежать отрицательных чисел, изменим порядок сложения: $(\frac{25}{60} + \frac{40}{60}) - \frac{32}{60} = \frac{65}{60} - \frac{32}{60} = \frac{33}{60}$

4. Сократим дробь:

$\frac{33}{60} = \frac{11}{20}$

5. Объединим целую и дробную части:

$8 + \frac{11}{20} = 8\frac{11}{20}$

Ответ: $8\frac{11}{20}$

в) $6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{4} + 2\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{3}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1. Выполним первое умножение:

$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

$\frac{20}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{25}{3}$

2. Выполним второе умножение:

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

$\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 4$

3. Сложим полученные результаты:

$\frac{25}{3} + 4 = 8\frac{1}{3} + 4 = 12\frac{1}{3}$

Ответ: $12\frac{1}{3}$

г) $25\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{11} + 12\frac{3}{5} : 2,1$

В этом выражении сначала выполняем умножение и деление, а затем сложение. Преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. Выполним умножение:

$25\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{11} = \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{11} = \frac{77 \cdot 2}{3 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{14}{3}$

2. Выполним деление. Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:

$12\frac{3}{5} = \frac{12 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{63}{5}$

$2,1 = 2\frac{1}{10} = \frac{21}{10}$

Теперь делим. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{63}{5} : \frac{21}{10} = \frac{63}{5} \cdot \frac{10}{21} = \frac{63 \cdot 10}{5 \cdot 21} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$

3. Сложим полученные результаты:

$\frac{14}{3} + 6 = 4\frac{2}{3} + 6 = 10\frac{2}{3}$

Ответ: $10\frac{2}{3}$

2. Выполните действия:

а) $-37 + 80 + 38 - 79 =$

б) $-0,5 + \frac{6}{7} + 4\frac{1}{7} - 5\frac{1}{2} =$

в) $(-\frac{1}{6}) \cdot \frac{5}{6} \cdot (-1\frac{1}{5}) \cdot 30 =$

г) $(-0,4) \cdot (-2,5) \cdot 2,5 \cdot 4 =$

д) $0,6 - (-1,8) : (-3) + 8 - (-4) : 0,4 =$

е) $2,5 - (-2,8) : (-7) - (-5) - (-10) : 2 =$

а) $-37 + 80 + 38 - 79$

Чтобы упростить вычисление, сгруппируем слагаемые. Удобнее всего сгруппировать числа, которые легко складываются или вычитаются друг с другом.

$-37 + 80 + 38 - 79 = (-37 + 38) + (80 - 79)$

Выполним действия в скобках:

$-37 + 38 = 1$

$80 - 79 = 1$

Теперь сложим полученные результаты:

$1 + 1 = 2$

Ответ: 2

б) $-0,5 + \frac{6}{7} + 4\frac{1}{7} - 5\frac{1}{2}$

Для решения этого примера удобнее всего преобразовать все числа в обыкновенные дроби.

$-0,5 = -\frac{1}{2}$

$4\frac{1}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{29}{7}$

$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$-\frac{1}{2} + \frac{6}{7} + \frac{29}{7} - \frac{11}{2}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{6}{7} + \frac{29}{7}) + (-\frac{1}{2} - \frac{11}{2}) = \frac{6+29}{7} - \frac{1+11}{2} = \frac{35}{7} - \frac{12}{2}$

Выполним деление:

$5 - 6 = -1$

Ответ: -1

в) $(-\frac{1}{6}) \cdot \frac{5}{6} \cdot (-1\frac{1}{5}) \cdot 30$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5}$

Теперь выражение выглядит так:

$(-\frac{1}{6}) \cdot \frac{5}{6} \cdot (-\frac{6}{5}) \cdot 30$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому минусы можно убрать. Перемножим все дроби и число:

$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} \cdot 30 = \frac{1 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 30}{6 \cdot 6 \cdot 5}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (5 и 6):

$\frac{30}{6} = 5$

Ответ: 5

г) $(-0,4) \cdot (-2,5) \cdot 2,5 \cdot 4$

Сгруппируем множители так, чтобы вычисления были проще. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$((-0,4) \cdot (-2,5)) \cdot (2,5 \cdot 4)$

Вычислим произведение в каждой паре скобок:

$(-0,4) \cdot (-2,5) = 1$

$2,5 \cdot 4 = 10$

Перемножим полученные результаты:

$1 \cdot 10 = 10$

Ответ: 10

д) $0,6 - (-1,8) : (-3) + 8 - (-4) : 0,4$

Соблюдаем порядок действий: сначала выполняем деление, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. $(-1,8) : (-3) = 0,6$

2. $(-4) : 0,4 = -(40 : 4) = -10$

Подставим полученные значения в выражение:

$0,6 - 0,6 + 8 - (-10)$

Раскрываем скобки (минус на минус дает плюс):

$0,6 - 0,6 + 8 + 10$

Выполняем действия по порядку:

$0 + 8 + 10 = 18$

Ответ: 18

е) $2,5 - (-2,8) : (-7) - (-5) - (-10) : 2$

Сначала выполняем операции деления:

1. $(-2,8) : (-7) = 0,4$ (деление отрицательного на отрицательное дает положительное)

2. $(-10) : 2 = -5$

Подставим результаты в исходное выражение:

$2,5 - 0,4 - (-5) - (-5)$

Раскроем скобки. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению:

$2,5 - 0,4 + 5 + 5$

Теперь выполняем действия слева направо:

$2,1 + 5 + 5 = 7,1 + 5 = 12,1$

Ответ: 12,1