Страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Найдите координаты точек пересечения графиков функций $y=-x^2$ и $y=x-2$. Выполните графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точек пересечения

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = x - 2$, необходимо решить систему уравнений. В точках пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$-x^2 = x - 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в одно из исходных уравнений, например, в $y = x - 2$.

При $x = 1$: $y = 1 - 2 = -1$.

При $x = -2$: $y = -2 - 2 = -4$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(1, -1)$ и $(-2, -4)$.

Графическая иллюстрация

Для выполнения графической иллюстрации построим графики данных функций на одной координатной плоскости. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. График функции $y = x - 2$ — это прямая линия.

Для более точного построения составим таблицы значений для каждой функции.

Таблица значений для параболы $y = -x^2$:

Таблица значений для прямой $y = x - 2$:

Построим графики на координатной плоскости, используя эти точки.

На графике синей линией показан график функции $y = -x^2$, красной линией — график функции $y = x - 2$. Черными точками отмечены их точки пересечения с координатами $(1, -1)$ и $(-2, -4)$.

Ответ: Графическая иллюстрация представлена выше.

12. Изобразите схематически на одном чертеже графики функций:

(1) $y = \frac{x^2}{2\sqrt{3}-4}$; (2) $y = -2x^2$;

(3) $y = 8\sqrt{3}x^2$; (4) $y = \frac{x^2}{5\sqrt{2}-7}$.

а) оси y: .............................

б) оси x: .............................

Для построения графиков функций необходимо проанализировать каждую из них. Все функции имеют вид $y=ax^2$, что соответствует параболе с вершиной в точке (0, 0). Положение и форма параболы определяются коэффициентом $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента $|a|$, тем более "узкой" (прижатой к оси OY) является парабола.

(1) $y = \frac{x^2}{2\sqrt{3} - 4}$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_1 = \frac{1}{2\sqrt{3} - 4}$.
Оценим знак знаменателя. Сравним $2\sqrt{3}$ и $4$. Для этого сравним их квадраты: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $4^2 = 16$. Поскольку $12 < 16$, то $2\sqrt{3} < 4$, и знаменатель $2\sqrt{3} - 4$ отрицателен. Следовательно, коэффициент $a_1 = \frac{1}{2\sqrt{3} - 4} < 0$. Ветви параболы направлены вниз.
Вычислим значение коэффициента, избавившись от иррациональности в знаменателе: $a_1 = \frac{1}{2\sqrt{3} - 4} \cdot \frac{2\sqrt{3} + 4}{2\sqrt{3} + 4} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{(2\sqrt{3})^2 - 4^2} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{12 - 16} = \frac{2(\sqrt{3} + 2)}{-4} = -\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$. Приблизительное значение: $a_1 \approx -\frac{1.732 + 2}{2} = -1.866$. Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вниз. Коэффициент $a_1 = -\frac{\sqrt{3} + 2}{2} \approx -1.866$.

(2) $y = -2x^2$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_2 = -2$.
Поскольку $a_2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Сравнивая с предыдущей функцией, видим, что $|a_2| = 2$, а $|a_1| \approx 1.866$. Так как $|a_2| > |a_1|$, эта парабола будет "уже", чем парабола (1). Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вниз. Коэффициент $a_2 = -2$.

(3) $y = 8\sqrt{3}x^2$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_3 = 8\sqrt{3}$.
Поскольку $\sqrt{3} > 0$, коэффициент $a_3 > 0$. Ветви параболы направлены вверх.
Приблизительное значение: $a_3 = 8\sqrt{3} \approx 8 \cdot 1.732 = 13.856$. Большое значение коэффициента говорит о том, что парабола очень "узкая". Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх. Коэффициент $a_3 = 8\sqrt{3} \approx 13.856$.

(4) $y = \frac{x^2}{5\sqrt{2} - 7}$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_4 = \frac{1}{5\sqrt{2} - 7}$.
Оценим знак знаменателя. Сравним $5\sqrt{2}$ и $7$. Их квадраты: $(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ и $7^2 = 49$. Поскольку $50 > 49$, то $5\sqrt{2} > 7$, и знаменатель $5\sqrt{2} - 7$ положителен. Следовательно, коэффициент $a_4 > 0$. Ветви параболы направлены вверх.
Вычислим значение коэффициента: $a_4 = \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} \cdot \frac{5\sqrt{2} + 7}{5\sqrt{2} + 7} = \frac{5\sqrt{2} + 7}{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} = \frac{5\sqrt{2} + 7}{50 - 49} = 5\sqrt{2} + 7$. Приблизительное значение: $a_4 \approx 5 \cdot 1.414 + 7 = 7.07 + 7 = 14.07$.
Сравнивая с предыдущей функцией, $|a_4| > |a_3|$ ($14.07 > 13.856$), поэтому эта парабола будет немного "уже", чем парабола (3). Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх. Коэффициент $a_4 = 5\sqrt{2} + 7 \approx 14.07$.

Схематическое изображение графиков на одном чертеже

На основе проведенного анализа строим графики всех четырех функций.

• Параболы (1) и (2) открываются вниз, причем парабола (2) более узкая, чем (1).
• Параболы (3) и (4) открываются вверх, они значительно уже, чем параболы (1) и (2). Парабола (4) немного уже, чем (3).

15. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что сумма крайних из них равна 112, а сумма средних равна 48.

Пусть четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$.

Члены геометрической прогрессии можно выразить через ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

$b_1, \quad b_2 = b_1 q, \quad b_3 = b_1 q^2, \quad b_4 = b_1 q^3$.

По условию задачи, сумма крайних членов ($b_1$ и $b_4$) равна 112, а сумма средних членов ($b_2$ и $b_3$) равна 48. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_4 = 112 \\ b_2 + b_3 = 48 \end{cases} $

Подставим в эту систему выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1 + b_1 q^3 = 112 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 48 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1(1 + q^3) = 112 & (1) \\ b_1 q(1 + q) = 48 & (2) \end{cases} $

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), при условии, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0, q \neq -1$:

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{112}{48}$

В левой части сократим $b_1$. Для числителя используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, что дает $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$. В правой части сократим дробь: $\frac{112}{48} = \frac{7 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{7}{3}$.

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{7}{3}$

После сокращения общего множителя $(1+q)$ в левой части, получим:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{7}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции:

$3(1 - q + q^2) = 7q$

$3 - 3q + 3q^2 = 7q$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$q_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$q_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ для каждого из найденных значений $q$.

1. Если $q = 3$, подставим это значение в уравнение (2): $b_1 \cdot 3(1 + 3) = 48$. Это упрощается до $12b_1 = 48$, откуда $b_1 = 4$. Тогда искомые числа: $4, 4 \cdot 3, 4 \cdot 3^2, 4 \cdot 3^3$, то есть последовательность 4, 12, 36, 108.

2. Если $q = \frac{1}{3}$, подставим это значение в уравнение (2): $b_1 \cdot \frac{1}{3}(1 + \frac{1}{3}) = 48$. Это упрощается до $b_1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = 48$, или $b_1 \cdot \frac{4}{9} = 48$, откуда $b_1 = 48 \cdot \frac{9}{4} = 108$. Тогда искомые числа: $108, 108 \cdot \frac{1}{3}, 108 \cdot (\frac{1}{3})^2, 108 \cdot (\frac{1}{3})^3$, то есть последовательность 108, 36, 12, 4.

Оба случая дают один и тот же набор чисел. Проверим, удовлетворяет ли он условиям: сумма крайних членов $4 + 108 = 112$, сумма средних членов $12 + 36 = 48$. Условия выполняются.

Ответ: 4, 12, 36, 108 или 108, 36, 12, 4.

16. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 75. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив первое число на 5 и увеличив второе число на 5, а третье на 30, получится геометрическая прогрессия.

Пусть три числа, составляющие арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства представим их в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих чисел равна 75:
$(a - d) + a + (a + d) = 75$
$3a = 75$
$a = 25$

Таким образом, второй член прогрессии равен 25, а сами числа имеют вид: $25 - d$, 25, $25 + d$.

Далее, согласно условию, из этих чисел получают новую последовательность, которая является геометрической прогрессией.
Первое число уменьшают на 5: $b_1 = (25 - d) - 5 = 20 - d$.
Второе число увеличивают на 5: $b_2 = 25 + 5 = 30$.
Третье число увеличивают на 30: $b_3 = (25 + d) + 30 = 55 + d$.

Полученные числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим наши значения в это свойство:
$30^2 = (20 - d)(55 + d)$
$900 = 1100 + 20d - 55d - d^2$
$900 = 1100 - 35d - d^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$d^2 + 35d + 900 - 1100 = 0$
$d^2 + 35d - 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 1225 + 800 = 2025$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.

Находим два возможных значения для разности $d$:
$d_1 = \frac{-35 + 45}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$d_2 = \frac{-35 - 45}{2 \cdot 1} = \frac{-80}{2} = -40$

Найдем два возможных набора чисел, подставив найденные значения $d$ в исходное представление чисел $25-d, 25, 25+d$.
1. Если $d=5$, то числа арифметической прогрессии: $25 - 5, 25, 25 + 5$, то есть 20, 25, 30.
2. Если $d=-40$, то числа арифметической прогрессии: $25 - (-40), 25, 25 + (-40)$, то есть 65, 25, -15.

Ответ: 20, 25, 30 или 65, 25, -15.