Страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции:

a) $y = 1,2x^2$;

б) $y = -0,3x^2$.

Данная функция имеет вид $y = ax^2$, где $a = 1,2$. Графиком такой функции является парабола. Проанализируем ее основные свойства, чтобы понять, как она расположена в координатной плоскости.

1. Вершина параболы для функции вида $y = ax^2$ всегда находится в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$.
2. Коэффициент $a = 1,2$ является положительным ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Поскольку ветви направлены вверх, а вершина находится в начале координат, весь график (кроме точки $(0,0)$) расположен в верхней полуплоскости, то есть в I и II координатных четвертях.
4. Модуль коэффициента $|a| = |1,2| = 1,2 > 1$. Это означает, что парабола будет "уже" (более сжата к оси ординат $Oy$) по сравнению с графиком стандартной параболы $y = x^2$.

Для более точного схематического изображения найдем пару контрольных точек. При $x = 1$, $y = 1,2 \cdot 1^2 = 1,2$. В силу симметрии параболы относительно оси $Oy$, при $x = -1$ будет такое же значение $y = 1,2$. Таким образом, парабола проходит через точки $(-1; 1,2)$ и $(1; 1,2)$.

Ответ: График функции $y=1,2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх. Она расположена в I и II координатных четвертях и является более узкой по сравнению со стандартной параболой $y=x^2$.

Эта функция также имеет вид $y = ax^2$, где на этот раз $a = -0,3$. Её графиком также является парабола.

1. Вершина параболы, как и в предыдущем случае, находится в точке $(0, 0)$.
2. Коэффициент $a = -0,3$ является отрицательным ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
3. Поскольку ветви направлены вниз, а вершина находится в начале координат, весь график (кроме точки $(0,0)$) расположен в нижней полуплоскости, то есть в III и IV координатных четвертях.
4. Модуль коэффициента $|a| = |-0,3| = 0,3 < 1$. Это означает, что парабола будет "шире" (растянута от оси ординат $Oy$) по сравнению с графиком параболы $y = -x^2$.

Для схематического представления найдем несколько контрольных точек. При $x = 1$, $y = -0,3 \cdot 1^2 = -0,3$. При $x = 2$, $y = -0,3 \cdot 2^2 = -0,3 \cdot 4 = -1,2$. В силу симметрии параболы, она также будет проходить через точки $(-1; -0,3)$ и $(-2; -1,2)$.

Ответ: График функции $y=-0,3x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз. Она расположена в III и IV координатных четвертях и является более широкой по сравнению со стандартной параболой $y=-x^2$.

6. При каком значении $b$ график функции $y=bx^2$ проходит через точку:

а) $A(3; -4);$

б) $B(-\sqrt{2}; 5);$

в) $C(\frac{1}{3}; -\frac{1}{3});$

г) $D(10; 20)?$

Для того чтобы график функции $y = bx^2$ проходил через заданную точку, ее координаты $(x; y)$ должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем найти искомое значение коэффициента $b$, подставив координаты каждой точки в уравнение $y = bx^2$ и решив его относительно $b$.

а) Точка A(3; –4).

Подставляем координаты $x = 3$ и $y = -4$ в уравнение функции:

$-4 = b \cdot (3)^2$

$-4 = b \cdot 9$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на 9:

$b = -\frac{4}{9}$

Ответ: $b = -\frac{4}{9}$.

б) Точка B($-\sqrt{2}$; 5).

Подставляем координаты $x = -\sqrt{2}$ и $y = 5$ в уравнение функции:

$5 = b \cdot (-\sqrt{2})^2$

Так как $(-\sqrt{2})^2 = 2$, получаем:

$5 = b \cdot 2$

Находим $b$:

$b = \frac{5}{2}$

Ответ: $b = \frac{5}{2}$.

в) Точка C($\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{3}$).

Подставляем координаты $x = \frac{1}{3}$ и $y = -\frac{1}{3}$ в уравнение функции:

$-\frac{1}{3} = b \cdot (\frac{1}{3})^2$

$-\frac{1}{3} = b \cdot \frac{1}{9}$

Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на 9:

$b = -\frac{1}{3} \cdot 9$

$b = -3$

Ответ: $b = -3$.

г) Точка D(10; 20).

Подставляем координаты $x = 10$ и $y = 20$ в уравнение функции:

$20 = b \cdot (10)^2$

$20 = b \cdot 100$

Находим $b$:

$b = \frac{20}{100}$

$b = \frac{1}{5}$

Ответ: $b = \frac{1}{5}$.

7. На рисунке изображены схематически графики функций $S_1(a)$, $S_2(a)$, $S_3(a)$ и $S_4(a)$, где

$S_1(a)$ — площадь квадрата со стороной $a$,

$S_2(a)$ — площадь круга с радиусом $a$,

$S_3(a)$ — площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом $a$,

$S_4(a)$ — площадь поверхности куба с ребром $a$.

Задайте формулами эти функции и укажите соответствующие им графики.

Формулы функций:

$S_1(a) = a^2$

$S_2(a) = \pi a^2$

$S_3(a) = \frac{1}{2} a^2$

$S_4(a) = 6a^2$

Соответствующие графики:

$S_3(a)$ — самый пологий график (нижний)

$S_1(a)$ — второй график снизу

$S_2(a)$ — третий график снизу

$S_4(a)$ — самый крутой график (верхний)

Для решения задачи необходимо задать формулами каждую из функций и затем сопоставить их с соответствующими графиками. Все функции представляют собой квадратичную зависимость вида $S(a) = k \cdot a^2$, где $a \ge 0$. На графике это ветви парабол, выходящие из начала координат. Чем больше коэффициент $k$, тем "круче" идет график, то есть он сильнее прижимается к оси $y$.

Выведем формулы для каждой функции и определим значение коэффициента $k$.

S₁(a) — площадь квадрата со стороной a.

Формула для площади квадрата: $S_1(a) = a^2$. В этом случае коэффициент $k=1$.

Ответ: $S_1(a) = a^2$. Это второй снизу график, проходящий через точку $(1; 1)$.

S₂(a) — площадь круга с радиусом a.

Формула для площади круга: $S_2(a) = \pi a^2$. В этом случае коэффициент $k = \pi \approx 3.14$.

Ответ: $S_2(a) = \pi a^2$. Это третий снизу график (второй сверху), который проходит через точку $(1; \pi)$, что немного выше отметки $y=3$.

S₃(a) — площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом a.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Так как треугольник равнобедренный, оба катета равны $a$. Формула: $S_3(a) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$. В этом случае коэффициент $k = 0.5$.

Ответ: $S_3(a) = \frac{1}{2}a^2$. Это самый нижний, наиболее пологий график, так как у него наименьший коэффициент $k$. Он проходит через точку $(1; 0.5)$.

S₄(a) — площадь поверхности куба с ребром a.

Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Следовательно, площадь всей поверхности: $S_4(a) = 6a^2$. В этом случае коэффициент $k=6$.

Ответ: $S_4(a) = 6a^2$. Это самый верхний, самый крутой график, так как у него наибольший коэффициент $k$. Он проходит через точку $(1; 6)$.

9. Известно, что $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, все члены которой положительные числа. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

a) $3b_1, 3b_2, 3b_3, ...;$

б) $\sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \sqrt{b_3}, ...;$

в) $b_1^2, b_2^2, b_3^2, ...?$

Ответ: a) ......................... б) ......................... в) .........................

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем прогрессии.
Пусть исходная последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$, или, что то же самое, $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.
По условию все члены прогрессии $(b_n)$ — положительные числа ($b_n > 0$). Это означает, что первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1}$ также должен быть положительным ($q > 0$).

а) Рассмотрим последовательность $c_n = 3b_n$. Ее члены: $3b_1, 3b_2, 3b_3, \dots$.
Чтобы проверить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдем отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{3b_{n+1}}{3b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.
Следовательно, отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ равно $q$ для любого $n$, то есть является постоянной величиной.
Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

б) Рассмотрим последовательность $d_n = \sqrt{b_n}$. Ее члены: $\sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \sqrt{b_3}, \dots$.
Поскольку по условию все $b_n > 0$, извлечение квадратного корня является корректной операцией, и все члены $d_n$ будут положительными действительными числами.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену:
$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{\sqrt{b_{n+1}}}{\sqrt{b_n}} = \sqrt{\frac{b_{n+1}}{b_n}}$.
Используя тот факт, что $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, получаем:
$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \sqrt{q}$.
Так как $q$ — постоянная положительная величина, то $\sqrt{q}$ также является постоянной положительной величиной.
Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

в) Рассмотрим последовательность $e_n = b_n^2$. Ее члены: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену:
$\frac{e_{n+1}}{e_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^2$.
Так как $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, то:
$\frac{e_{n+1}}{e_n} = q^2$.
Величина $q^2$ является постоянной для любого $n$.
Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: да, является.

10. В равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 32 см вписан новый треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Найдите периметр девятого треугольника.

Решение.

Решение.

Пусть $T_1$ — это исходный равносторонний треугольник $ABC$. По условию задачи, длина его стороны составляет $a_1 = 32$ см. Найдем периметр этого треугольника, обозначив его как $P_1$:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 32 = 96$ см.

Второй треугольник, назовем его $T_2$, вписан в $T_1$ таким образом, что его вершины являются серединами сторон треугольника $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией для треугольника $T_1$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Так как $T_1$ — равносторонний, все его стороны равны, следовательно, все стороны $T_2$ также равны между собой, и $T_2$ тоже является равносторонним. Найдем длину стороны $a_2$ и периметр $P_2$ второго треугольника:
$a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Аналогично, третий треугольник $T_3$ будет вписан во второй, и его периметр $P_3$ будет в два раза меньше периметра $P_2$:
$P_3 = \frac{P_2}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Таким образом, периметры последовательно вписанных треугольников $P_1, P_2, P_3, \dots$ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = P_1 = 96$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}$.

Для нахождения периметра девятого треугольника ($P_9$) воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $n=9$, $b_1 = 96$ и $q = \frac{1}{2}$.
$P_9 = P_1 \cdot q^{9-1} = P_1 \cdot q^8 = 96 \cdot (\frac{1}{2})^8$.
Вычислим $2^8$: $2^8 = 256$.
$P_9 = 96 \cdot \frac{1}{256} = \frac{96}{256}$.

Теперь сократим полученную дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители или найдем их наибольший общий делитель. $96 = 32 \cdot 3$, а $256 = 32 \cdot 8$.
$P_9 = \frac{3 \cdot 32}{8 \cdot 32} = \frac{3}{8}$ см.

Ответ: $\frac{3}{8}$ см.

11. Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии $3\frac{1}{3}, 10, 30, \ldots$ будут больше 1000?

Для решения задачи сначала определим параметры данной геометрической прогрессии. Пусть ($b_n$) — данная прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 3\frac{1}{3}$. Переведем его в неправильную дробь:$b_1 = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Второй член прогрессии $b_2 = 10$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{\frac{10}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3$.

Общая формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии:$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения $b_1$ и $q$ в формулу:$b_n = \frac{10}{3} \cdot 3^{n-1}$.

Используя свойство степеней ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), можно упростить это выражение:$b_n = 10 \cdot 3^{-1} \cdot 3^{n-1} = 10 \cdot 3^{n-1-1} = 10 \cdot 3^{n-2}$.

Нам нужно найти номер $n$, начиная с которого члены прогрессии будут больше 1000. Для этого составим и решим неравенство $b_n > 1000$:$10 \cdot 3^{n-2} > 1000$.

Разделим обе части неравенства на 10:$3^{n-2} > 100$.

Чтобы найти $n$, определим, какая степень числа 3 будет больше 100. Рассмотрим степени числа 3:$3^1 = 3$$3^2 = 9$$3^3 = 27$$3^4 = 81$$3^5 = 243$

Мы видим, что $3^4 = 81$ (что меньше 100), а $3^5 = 243$ (что больше 100).Следовательно, показатель степени $(n-2)$ должен быть как минимум равен 5, чтобы неравенство выполнялось. Так как $n$ — это натуральное число (номер члена прогрессии), то:$n - 2 \ge 5$$n \ge 5 + 2$$n \ge 7$.

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 7.Таким образом, начиная с 7-го члена, члены прогрессии будут больше 1000.

Проверим:$b_6 = 10 \cdot 3^{6-2} = 10 \cdot 3^4 = 10 \cdot 81 = 810$. ($810 < 1000$)$b_7 = 10 \cdot 3^{7-2} = 10 \cdot 3^5 = 10 \cdot 243 = 2430$. ($2430 > 1000$)

Ответ: 7.