Страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Изобразите схематически на одном чертеже графики функций $y_1 = \frac{1}{3}(x + 2)^2 - 1$ и $y_2 = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 2$, определив предварительно для каждой параболы координаты вершины и направление ветвей.

.......................

.......................

.......................

Ответ: а)

Для того чтобы изобразить графики функций $y_1 = \frac{1}{3}(x + 2)^2 - 1$ и $y_2 = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 2$, необходимо предварительно проанализировать каждую параболу, определив координаты ее вершины и направление ветвей.

Анализ параболы $y_1 = \frac{1}{3}(x + 2)^2 - 1$

Данная функция является квадратичной, и ее график — парабола. Уравнение представлено в каноническом виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты вершины параболы.

1. Координаты вершины. Для функции $y_1$ имеем: коэффициент $a = \frac{1}{3}$, абсцисса вершины $x_0 = -2$ и ордината вершины $y_0 = -1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, -1)$.

2. Направление ветвей. Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$. Поскольку $a = \frac{1}{3}$, что больше нуля ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Вершина параболы $y_1$ находится в точке $(-2, -1)$, ветви направлены вверх.

Анализ параболы $y_2 = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 2$

Эта функция также является квадратичной, и ее график — парабола вида $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

1. Координаты вершины. Для функции $y_2$ имеем: коэффициент $a = -\frac{1}{3}$, абсцисса вершины $x_0 = 3$ и ордината вершины $y_0 = 2$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(3, 2)$.

2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = -\frac{1}{3}$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Вершина параболы $y_2$ находится в точке $(3, 2)$, ветви направлены вниз.

Схематическое изображение графиков на одном чертеже

На основе полученных данных строим графики. Для параболы $y_1$ (синий цвет) отмечаем вершину $(-2, -1)$ и проводим ветви вверх. Для параболы $y_2$ (красный цвет) отмечаем вершину $(3, 2)$ и проводим ветви вниз. Для большей точности можно найти несколько дополнительных точек. Например, для $y_1$ при $x=1$ получаем $y_1 = 2$. Для $y_2$ при $x=0$ получаем $y_2 = -1$.

6. Существуют ли значения $x$, при которых значение функции $y=-x^2+6$ равно: а) -3; б) 8; в) -5; г) $-\frac{1}{4}$? При положительном ответе укажите эти значения.

Ответ:

а) б) в) г)

Чтобы определить, существуют ли значения $x$, при которых функция $y = -x^2 + 6$ принимает заданные значения, необходимо для каждого случая подставить указанное значение $y$ в уравнение функции и решить получившееся уравнение относительно $x$. Если уравнение имеет действительные корни, то такие значения $x$ существуют.

а)

Проверим, может ли значение функции быть равным -3. Для этого решим уравнение:

$-x^2 + 6 = -3$

Перенесем 6 в правую часть:

$-x^2 = -3 - 6$

$-x^2 = -9$

Умножим обе части на -1:

$x^2 = 9$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Уравнение имеет два действительных корня, следовательно, такие значения $x$ существуют.

Ответ: да, существуют; $x=3$ и $x=-3$.

б)

Проверим, может ли значение функции быть равным 8. Решим уравнение:

$-x^2 + 6 = 8$

$-x^2 = 8 - 6$

$-x^2 = 2$

$x^2 = -2$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не существуют.

в)

Проверим, может ли значение функции быть равным -5. Решим уравнение:

$-x^2 + 6 = -5$

$-x^2 = -5 - 6$

$-x^2 = -11$

$x^2 = 11$

$x_1 = \sqrt{11}$, $x_2 = -\sqrt{11}$

Уравнение имеет два действительных корня, следовательно, такие значения $x$ существуют.

Ответ: да, существуют; $x=\sqrt{11}$ и $x=-\sqrt{11}$.

г)

Проверим, может ли значение функции быть равным $-\frac{1}{4}$. Решим уравнение:

$-x^2 + 6 = -\frac{1}{4}$

$-x^2 = -\frac{1}{4} - 6$

$-x^2 = -\frac{1}{4} - \frac{24}{4}$

$-x^2 = -\frac{25}{4}$

$x^2 = \frac{25}{4}$

$x_1 = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$, $x_2 = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -\frac{5}{2}$

Уравнение имеет два действительных корня, следовательно, такие значения $x$ существуют.

Ответ: да, существуют; $x=\frac{5}{2}$ и $x=-\frac{5}{2}$.

7. Не выполняя построения, запишите уравнение параболы, симметричной параболе $y=\frac{1}{2}(x-3)^2+7$ относительно:

а) оси y:

б) оси x:

а) оси y:

Чтобы найти уравнение параболы, симметричной данной относительно оси y (оси ординат), необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить переменную $x$ на $-x$. Это преобразование отражает каждую точку графика $(x, y)$ в точку $(-x, y)$.
Исходное уравнение параболы: $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7$.
Произведем замену $x$ на $-x$:
$y = \frac{1}{2}((-x)-3)^2 + 7$
Упростим полученное выражение. Вынесем $-1$ за скобки внутри квадрата:
$y = \frac{1}{2}(-(x+3))^2 + 7$
Так как $(-a)^2 = a^2$, получаем:
$y = \frac{1}{2}(x+3)^2 + 7$
Это и есть искомое уравнение параболы. Вершина исходной параболы $(3, 7)$ симметрично отразилась в точку $(-3, 7)$, что соответствует новому уравнению.
Ответ: $y = \frac{1}{2}(x+3)^2 + 7$

б) оси x:

Чтобы найти уравнение параболы, симметричной данной относительно оси x (оси абсцисс), необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить переменную $y$ на $-y$. Это преобразование отражает каждую точку графика $(x, y)$ в точку $(x, -y)$.
Исходное уравнение параболы: $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7$.
Произведем замену $y$ на $-y$:
$-y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7$
Теперь выразим $y$, умножив обе части уравнения на $-1$:
$y = - \left( \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7 \right)$
$y = -\frac{1}{2}(x-3)^2 - 7$
Это и есть искомое уравнение параболы. Вершина исходной параболы $(3, 7)$ симметрично отразилась в точку $(3, -7)$, а ветви параболы, направленные вверх, стали направлены вниз, что соответствует новому уравнению.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}(x-3)^2 - 7$

8. Определите, при каких значениях $a$ осью симметрии параболы $y = 5(x + 4a^2)^2 + 1$ является прямая $x = -9$.

Ответ: .................

Уравнение параболы $y = 5(x + 4a^2)^2 + 1$ представлено в вершинной форме $y = k(x - x_в)^2 + y_в$, где $(x_в, y_в)$ — это координаты вершины параболы. Осью симметрии для параболы, заданной в таком виде, является вертикальная прямая, уравнение которой $x = x_в$.

Чтобы определить абсциссу вершины $x_в$ для данной параболы, приведём выражение в скобках к виду $(x - x_в)$: $x + 4a^2 = x - (-4a^2)$. Таким образом, уравнение параболы можно записать как $y = 5(x - (-4a^2))^2 + 1$.

Из этого представления видно, что абсцисса вершины $x_в = -4a^2$. Следовательно, уравнение оси симметрии этой параболы имеет вид $x = -4a^2$.

По условию задачи, осью симметрии является прямая $x = -9$. Чтобы найти значения $a$, при которых это условие выполняется, приравняем полученное выражение для оси симметрии к заданному значению:

$-4a^2 = -9$

Решим это уравнение относительно $a$. Сначала разделим обе части на $-4$:

$a^2 = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$

Далее, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$a = \pm\frac{3}{2}$

Это означает, что есть два значения $a$, при которых ось симметрии параболы будет $x = -9$: $a = 1.5$ и $a = -1.5$.

Ответ: $\pm 1.5$

3. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, в которой $b_1 = \frac{1}{8}$, $b_8 = 16$.

Для решения задачи необходимо найти знаменатель геометрической прогрессии $q$, а затем использовать его для вычисления суммы первых восьми членов $S_8$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии (q)

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В нашем случае известны первый член $b_1 = \frac{1}{8}$ и восьмой член $b_8 = 16$. Подставим эти значения в формулу при $n=8$:

$16 = \frac{1}{8} \cdot q^{8-1}$

$16 = \frac{1}{8} \cdot q^7$

Чтобы найти $q^7$, умножим обе части уравнения на 8:

$q^7 = 16 \cdot 8$

$q^7 = 128$

Извлекая корень седьмой степени из обеих частей, находим $q$:

$q = \sqrt[7]{128}$

Так как $2^7 = 128$, то знаменатель прогрессии $q=2$.

2. Нахождение суммы первых восьми членов (S_8)

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $b_1 = \frac{1}{8}$, $q=2$ и $n=8$ в эту формулу:

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(2^8 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим значение $2^8$:

$2^8 = 256$

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{1}$

$S_8 = \frac{1}{8} \cdot 255$

$S_8 = \frac{255}{8}$

Можно представить результат в виде смешанной дроби:

$S_8 = 31 \frac{7}{8}$

Ответ: $31 \frac{7}{8}$

4. Фигура составлена из одинаковых прямоугольников, причём в каждом следующем ряду в 2 раза больше прямоугольников, чем в предыдущем. Сколько прямоугольников потребовалось для составления фигуры из восьми рядов?

Согласно условию задачи, количество прямоугольников в каждом следующем ряду в 2 раза больше, чем в предыдущем. Это означает, что количество прямоугольников в рядах образует геометрическую прогрессию.

Из рисунка видно, что в первом (верхнем) ряду находится 1 прямоугольник. Таким образом, первый член прогрессии, который мы обозначим как $b_1$, равен 1. Знаменатель прогрессии $q$ равен 2.

Нам нужно найти общее количество прямоугольников, необходимое для составления фигуры из восьми рядов. Это будет сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии ($S_8$).

Для расчета можно воспользоваться формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Подставим в формулу наши значения, где $n = 8$, $b_1 = 1$ и $q = 2$: $S_8 = 1 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = \frac{256 - 1}{1} = 255$

Другой способ — найти количество прямоугольников в каждом из восьми рядов и сложить их:

• Ряд 1: 1
• Ряд 2: $1 \cdot 2 = 2$
• Ряд 3: $2 \cdot 2 = 4$
• Ряд 4: $4 \cdot 2 = 8$
• Ряд 5: $8 \cdot 2 = 16$
• Ряд 6: $16 \cdot 2 = 32$
• Ряд 7: $32 \cdot 2 = 64$
• Ряд 8: $64 \cdot 2 = 128$

Теперь найдем общую сумму: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 255.

5. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой $b_2=2$, $b_5=-16$.

Решение. Найдём знаменатель прогрессии $q$ из условия $b_5=b_2q^3$.

Решение.

По условию задачи нам дана геометрическая прогрессия ($b_n$), в которой второй член $b_2=2$ и пятый член $b_5=-16$. Нам необходимо найти сумму первых десяти членов этой прогрессии ($S_{10}$).

Сначала найдём знаменатель прогрессии $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$. Связь между пятым и вторым членами можно выразить так: $b_5 = b_2 \cdot q^{5-2} = b_2 \cdot q^3$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$-16 = 2 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 2:

$q^3 = \frac{-16}{2}$

$q^3 = -8$

Отсюда находим $q$:

$q = \sqrt[3]{-8} = -2$

Теперь, зная знаменатель $q$, найдём первый член прогрессии $b_1$. Мы знаем, что $b_2 = b_1 \cdot q$.

Подставим значения $b_2$ и $q$:

$2 = b_1 \cdot (-2)$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{2}{-2} = -1$

Теперь у нас есть всё необходимое для вычисления суммы первых десяти членов прогрессии. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в неё наши значения: $b_1 = -1$, $q = -2$ и $n = 10$.

$S_{10} = \frac{-1 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим значение в скобках:

$(-2)^{10} = 1024$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_{10} = \frac{-1 \cdot (1024 - 1)}{-3} = \frac{-1 \cdot 1023}{-3} = \frac{-1023}{-3}$

$S_{10} = 341$

Ответ: 341