Страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Из чисел -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 выберите те, которые являются корнями уравнения $x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x = 0$.

Для того чтобы выбрать из предложенных чисел $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ те, которые являются корнями уравнения $x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x = 0$, можно решить само уравнение и сравнить полученные корни с данным списком. Либо можно последовательно подставить каждое из предложенных чисел в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

Рассмотрим более общий способ — решение уравнения.

Исходное уравнение:

$x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x = 0$

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 - 3x^2 - 4x + 12) = 0$

Отсюда сразу получаем первый корень: $x_1 = 0$. Это число есть в предложенном списке.

2. Теперь необходимо решить кубическое уравнение:

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Применим метод группировки слагаемых:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x - 3)$:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

а) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$. Это число также есть в списке.

б) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Это уравнение имеет два корня: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$. Оба этих числа присутствуют в предложенном списке.

Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения: $0, 3, 2, -2$.

Сравнив найденные корни со списком чисел $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$, мы заключаем, что корнями уравнения из данного списка являются числа $-2, 0, 2, 3$.

Ответ: -2, 0, 2, 3.

2. При каких значениях $a$ равны значения выражений:

a) $3a+7$ и $-a+4$;

б) $a^2+1$ и $2a$?

а) Чтобы найти значения $a$, при которых выражения $3a + 7$ и $-a + 4$ равны, нужно приравнять их друг к другу и решить полученное линейное уравнение:

$3a + 7 = -a + 4$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные:

$3a + a = 4 - 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$4a = -3$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 4:

$a = -\frac{3}{4}$

Таким образом, выражения равны при $a = -0.75$.

Ответ: $a = -\frac{3}{4}$.

б) Чтобы найти значения $a$, при которых выражения $a^2 + 1$ и $2a$ равны, составим и решим соответствующее уравнение:

$a^2 + 1 = 2a$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$a^2 - 2a + 1 = 0$

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае это $(a-1)^2$.

$(a - 1)^2 = 0$

Если квадрат некоторого числа равен нулю, то и само это число равно нулю. Следовательно:

$a - 1 = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 1$

Ответ: $a = 1$.

3. Найдите корни уравнения:

a) $(9x - 2)(x + 8) - (3x - 1)(3x + 1) = 13$

б) $6x^2 - \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{4} = 4$

а) Исходное уравнение: $(9x - 2)(x + 8) - (3x - 1)(3x + 1) = 13$.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения.
Произведение первых двух скобок:
$(9x - 2)(x + 8) = 9x \cdot x + 9x \cdot 8 - 2 \cdot x - 2 \cdot 8 = 9x^2 + 72x - 2x - 16 = 9x^2 + 70x - 16$.
Произведение вторых двух скобок является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(9x^2 + 70x - 16) - (9x^2 - 1) = 13$.
Раскроем вторые скобки, учитывая знак минус перед ними:
$9x^2 + 70x - 16 - 9x^2 + 1 = 13$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) + 70x + (-16 + 1) = 13$
$70x - 15 = 13$.
Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:
$70x = 13 + 15$
$70x = 28$.
Найдем $x$:
$x = \frac{28}{70}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 14:
$x = \frac{2}{5}$.
Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

б) Исходное уравнение: $6x^2 - \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{4} = 4$.

Упростим выражение в числителе дроби, используя формулу разности квадратов:
$(3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$.
Подставим это выражение в уравнение:
$6x^2 - \frac{9x^2 - 1}{4} = 4$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot 6x^2 - 4 \cdot \frac{9x^2 - 1}{4} = 4 \cdot 4$
$24x^2 - (9x^2 - 1) = 16$.
Раскроем скобки:
$24x^2 - 9x^2 + 1 = 16$.
Приведем подобные слагаемые:
$15x^2 + 1 = 16$.
Перенесем 1 в правую часть:
$15x^2 = 16 - 1$
$15x^2 = 15$.
Разделим обе части на 15:
$x^2 = 1$.
Уравнение имеет два корня:
$x_1 = \sqrt{1} = 1$
$x_2 = -\sqrt{1} = -1$.
Ответ: $x = -1; x = 1$.

8. Фирма получила заказ на изготовление 240 автоприцепов, а изготовила 216 автоприцепов. Вычислите процент выполнения заказа.

Решение. ....................

Решение.

Чтобы вычислить процент выполнения заказа, необходимо найти, какую часть составляет количество изготовленных автоприцепов от запланированного количества, и выразить эту часть в процентах.

Запланированное количество автоприцепов по заказу (принимаем за 100%): 240.

Фактически изготовленное количество автоприцепов: 216.

Для нахождения процента выполнения заказа составим пропорцию, где $x$ — искомый процент:

240 автоприцепов — 100%

216 автоприцепов — $x$%

Из пропорции следует равенство: $x = \frac{216 \cdot 100}{240}$.

Произведем вычисления:

$x = \frac{21600}{240} = \frac{2160}{24}$

Разделим 2160 на 24:

$2160 \div 24 = 90$

Следовательно, $x = 90\%$.

Ответ: 90%.

9. В результате мер по экономии электроэнергии в первый месяц сократили её расход на 20 %, во второй — на 10 %, и в третий — на 10 %. На сколько процентов в результате сократился расход электроэнергии?

Решение.

Решение.

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислять расход электроэнергии после каждого этапа сокращения. Важно понимать, что каждый следующий процент сокращения рассчитывается от нового, уже уменьшенного, значения, а не от первоначального.

Примем первоначальный расход электроэнергии за $1$ (единицу), что соответствует $100\%$.

1. Сокращение на $20\%$ означает, что от величины остаётся $100\% - 20\% = 80\%$. Чтобы найти новую величину, нужно умножить предыдущую на коэффициент $0.8$.

2. Сокращение на $10\%$ означает, что от величины остаётся $100\% - 10\% = 90\%$. Коэффициент для умножения — $0.9$.

Чтобы найти итоговую долю расхода, нужно начальную величину (которую мы приняли за $1$) последовательно умножить на все коэффициенты:
Итоговая доля расхода $= 1 \cdot (1 - 0.20) \cdot (1 - 0.10) \cdot (1 - 0.10) = 1 \cdot 0.8 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.648$.

Это означает, что после всех сокращений осталось $0.648$ от первоначального расхода. В процентах это составляет:
$0.648 \cdot 100\% = 64.8\%$.

Чтобы найти, на сколько процентов в итоге сократился расход, нужно из первоначальных $100\%$ вычесть оставшуюся долю в процентах:
Общее сокращение $= 100\% - 64.8\% = 35.2\%$.

Ответ: в результате расход электроэнергии сократился на $35,2\%$.

10. Выполните действия:

a) $3\sqrt{72} - 2\sqrt{200} + 5\sqrt{32} - \sqrt{400} = $

б) $(2\sqrt{6} - 2\sqrt{54} + 6\sqrt{96}) \cdot 2\sqrt{3} = $

в) $(2\sqrt{10} + 3\sqrt{5})^2 = $

г) $(7\sqrt{3} + 2\sqrt{6})(7\sqrt{3} - 2\sqrt{6}) = $

а) Для решения выражения $3\sqrt{72} - 2\sqrt{200} + 5\sqrt{32} - \sqrt{400}$ необходимо упростить каждый член, вынеся множитель из-под знака корня.
1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{400} = 20$
2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3 \cdot (6\sqrt{2}) - 2 \cdot (10\sqrt{2}) + 5 \cdot (4\sqrt{2}) - 20 = 18\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 20\sqrt{2} - 20$
3. Сложим подобные слагаемые (члены, содержащие $\sqrt{2}$):
$(18 - 20 + 20)\sqrt{2} - 20 = 18\sqrt{2} - 20$
Ответ: $18\sqrt{2} - 20$

б) Для решения выражения $(2\sqrt{6} - 2\sqrt{54} + 6\sqrt{96}) \cdot 2\sqrt{3}$ сначала упростим выражение в скобках.
1. Упростим корни в скобках:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$
2. Подставим упрощенные значения в скобки:
$2\sqrt{6} - 2 \cdot (3\sqrt{6}) + 6 \cdot (4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 24\sqrt{6}$
3. Выполним действия в скобках:
$(2 - 6 + 24)\sqrt{6} = 20\sqrt{6}$
4. Теперь умножим результат на $2\sqrt{3}$:
$20\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = (20 \cdot 2) \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) = 40 \sqrt{18}$
5. Упростим полученный корень:
$40 \sqrt{18} = 40 \sqrt{9 \cdot 2} = 40 \cdot (3\sqrt{2}) = 120\sqrt{2}$
Ответ: $120\sqrt{2}$

в) Чтобы возвести в квадрат выражение $(2\sqrt{10} + 3\sqrt{5})^2$, используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 2\sqrt{10}$ и $b = 3\sqrt{5}$.
1. Найдем квадрат первого члена ($a^2$):
$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$
2. Найдем удвоенное произведение первого и второго членов ($2ab$):
$2 \cdot (2\sqrt{10}) \cdot (3\sqrt{5}) = 12 \cdot \sqrt{10 \cdot 5} = 12\sqrt{50}$
Упростим корень: $12\sqrt{50} = 12\sqrt{25 \cdot 2} = 12 \cdot 5\sqrt{2} = 60\sqrt{2}$
3. Найдем квадрат второго члена ($b^2$):
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
4. Сложим полученные результаты:
$a^2 + 2ab + b^2 = 40 + 60\sqrt{2} + 45$
5. Сложим числовые слагаемые:
$40 + 45 + 60\sqrt{2} = 85 + 60\sqrt{2}$
Ответ: $85 + 60\sqrt{2}$

г) Выражение $(7\sqrt{3} + 2\sqrt{6})(7\sqrt{3} - 2\sqrt{6})$ является произведением суммы и разности двух выражений. Для его упрощения используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 7\sqrt{3}$ и $b = 2\sqrt{6}$.
1. Найдем квадрат первого члена ($a^2$):
$(7\sqrt{3})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
2. Найдем квадрат второго члена ($b^2$):
$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$
3. Вычислим разность квадратов:
$a^2 - b^2 = 147 - 24 = 123$
Ответ: $123$