Номер 10, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Выполните действия:

a) $3\sqrt{72} - 2\sqrt{200} + 5\sqrt{32} - \sqrt{400} = $

б) $(2\sqrt{6} - 2\sqrt{54} + 6\sqrt{96}) \cdot 2\sqrt{3} = $

в) $(2\sqrt{10} + 3\sqrt{5})^2 = $

г) $(7\sqrt{3} + 2\sqrt{6})(7\sqrt{3} - 2\sqrt{6}) = $

а) Для решения выражения $3\sqrt{72} - 2\sqrt{200} + 5\sqrt{32} - \sqrt{400}$ необходимо упростить каждый член, вынеся множитель из-под знака корня.
1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{400} = 20$
2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3 \cdot (6\sqrt{2}) - 2 \cdot (10\sqrt{2}) + 5 \cdot (4\sqrt{2}) - 20 = 18\sqrt{2} - 20\sqrt{2} + 20\sqrt{2} - 20$
3. Сложим подобные слагаемые (члены, содержащие $\sqrt{2}$):
$(18 - 20 + 20)\sqrt{2} - 20 = 18\sqrt{2} - 20$
Ответ: $18\sqrt{2} - 20$

б) Для решения выражения $(2\sqrt{6} - 2\sqrt{54} + 6\sqrt{96}) \cdot 2\sqrt{3}$ сначала упростим выражение в скобках.
1. Упростим корни в скобках:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$
2. Подставим упрощенные значения в скобки:
$2\sqrt{6} - 2 \cdot (3\sqrt{6}) + 6 \cdot (4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 24\sqrt{6}$
3. Выполним действия в скобках:
$(2 - 6 + 24)\sqrt{6} = 20\sqrt{6}$
4. Теперь умножим результат на $2\sqrt{3}$:
$20\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = (20 \cdot 2) \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) = 40 \sqrt{18}$
5. Упростим полученный корень:
$40 \sqrt{18} = 40 \sqrt{9 \cdot 2} = 40 \cdot (3\sqrt{2}) = 120\sqrt{2}$
Ответ: $120\sqrt{2}$

в) Чтобы возвести в квадрат выражение $(2\sqrt{10} + 3\sqrt{5})^2$, используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 2\sqrt{10}$ и $b = 3\sqrt{5}$.
1. Найдем квадрат первого члена ($a^2$):
$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$
2. Найдем удвоенное произведение первого и второго членов ($2ab$):
$2 \cdot (2\sqrt{10}) \cdot (3\sqrt{5}) = 12 \cdot \sqrt{10 \cdot 5} = 12\sqrt{50}$
Упростим корень: $12\sqrt{50} = 12\sqrt{25 \cdot 2} = 12 \cdot 5\sqrt{2} = 60\sqrt{2}$
3. Найдем квадрат второго члена ($b^2$):
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
4. Сложим полученные результаты:
$a^2 + 2ab + b^2 = 40 + 60\sqrt{2} + 45$
5. Сложим числовые слагаемые:
$40 + 45 + 60\sqrt{2} = 85 + 60\sqrt{2}$
Ответ: $85 + 60\sqrt{2}$

г) Выражение $(7\sqrt{3} + 2\sqrt{6})(7\sqrt{3} - 2\sqrt{6})$ является произведением суммы и разности двух выражений. Для его упрощения используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 7\sqrt{3}$ и $b = 2\sqrt{6}$.
1. Найдем квадрат первого члена ($a^2$):
$(7\sqrt{3})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
2. Найдем квадрат второго члена ($b^2$):
$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$
3. Вычислим разность квадратов:
$a^2 - b^2 = 147 - 24 = 123$
Ответ: $123$