Номер 15, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Найдите первый член и сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_2 = -2$, $a_3 = 1$.

Решение. В данной прогрессии $d = ...$, $a_1 = ...$.

$S_{15} = ...$.

Ответ: $a_1 = ...$, $S_{15} = ...$.

Решение.

Для нахождения первого члена и суммы арифметической прогрессии $(a_n)$ сначала необходимо определить её разность $d$.

1. Нахождение разности $d$.
Разность арифметической прогрессии — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Её можно найти по формуле $d = a_{n+1} - a_n$. Используя данные нам члены $a_2 = -2$ и $a_3 = 1$:
$d = a_3 - a_2 = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

2. Нахождение первого члена $a_1$.
Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, мы можем выразить первый член $a_1$ через известный второй член $a_2$:
$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$.
Отсюда $a_1 = a_2 - d$.
Подставим известные значения $a_2 = -2$ и $d = 3$:
$a_1 = -2 - 3 = -5$.

3. Нахождение суммы первых пятнадцати членов $S_{15}$.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Нам нужно найти сумму первых 15 членов, то есть $n=15$. Подставим в формулу найденные значения $a_1 = -5$ и $d=3$:
$S_{15} = \frac{2 \cdot (-5) + 3 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{-10 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{-10 + 42}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{32}{2} \cdot 15$
$S_{15} = 16 \cdot 15 = 240$.

Ответ: $a_1 = -5$, $S_{15} = 240$.