Номер 4, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Сократите дробь:

а) $ \frac{a^2 - ab}{b^2 - ab} = $

б) $ \frac{3x^2 - 15xy}{10y^2 - 2xy} = $

в) $ \frac{(a - b)^2}{2b^2 - 2a^2} = $

г) $ \frac{x^3 + 2x^2y + xy^2}{x^3 - xy^2} = $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - ab}{b^2 - ab}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

1. В числителе вынесем общий множитель a за скобки: $a^2 - ab = a(a - b)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель b за скобки: $b^2 - ab = b(b - a)$.

После разложения на множители дробь примет вид: $\frac{a(a - b)}{b(b - a)}$.

3. Заметим, что выражения $(a - b)$ и $(b - a)$ являются противоположными, то есть $b - a = -(a - b)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{a(a - b)}{b(-(a - b))}$

4. Сократим общий множитель $(a - b)$ при условии, что $a \neq b$:

$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$

Ответ: $-\frac{a}{b}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{3x^2 - 15xy}{10y^2 - 2xy}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$: $3x^2 - 15xy = 3x(x - 5y)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2y$: $10y^2 - 2xy = 2y(5y - x)$.

Дробь принимает вид: $\frac{3x(x - 5y)}{2y(5y - x)}$.

3. Выражения $(x - 5y)$ и $(5y - x)$ являются противоположными: $5y - x = -(x - 5y)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{3x(x - 5y)}{2y(-(x - 5y))}$

4. Сократим общий множитель $(x - 5y)$ при условии, что $x \neq 5y$:

$\frac{3x}{-2y} = -\frac{3x}{2y}$

Ответ: $-\frac{3x}{2y}$

в) Сократим дробь $\frac{(a - b)^2}{2b^2 - 2a^2}$.

1. Числитель уже разложен на множители: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$.

2. Разложим знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 2: $2(b^2 - a^2)$. Затем применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получим: $2(b - a)(b + a)$.

Дробь примет вид: $\frac{(a - b)(a - b)}{2(b - a)(b + a)}$.

3. Заменим в знаменателе $(b - a)$ на $-(a - b)$:

$\frac{(a - b)(a - b)}{-2(a - b)(b + a)}$

4. Сократим общий множитель $(a - b)$ при $a \neq b$:

$\frac{a - b}{-2(b + a)} = -\frac{a - b}{2(a + b)}$

Ответ: $-\frac{a - b}{2(a + b)}$

г) Сократим дробь $\frac{x^3 + 2x^2y + xy^2}{x^3 - xy^2}$.

1. Разложим числитель. Вынесем общий множитель x: $x(x^2 + 2xy + y^2)$. Выражение в скобках является формулой квадрата суммы $(x+y)^2$. Таким образом, числитель равен $x(x + y)^2$.

2. Разложим знаменатель. Вынесем общий множитель x: $x(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x - y)(x + y)$. Таким образом, знаменатель равен $x(x - y)(x + y)$.

Дробь принимает вид: $\frac{x(x + y)^2}{x(x - y)(x + y)}$.

3. Сократим общие множители x (при $x \neq 0$) и $(x + y)$ (при $x \neq -y$):

$\frac{x(x + y)(x + y)}{x(x - y)(x + y)} = \frac{x + y}{x - y}$

Ответ: $\frac{x + y}{x - y}$