Номер 7, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Представьте в виде дроби:

a) $ \frac{a^2 - ab}{8b^4} \cdot \frac{4b^3}{a - b} = $

б) $ \frac{a^2 - 36}{a^2 - 3a} : \frac{a^2 + 6a}{a^2 - 9} = $

а)

Для выполнения умножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели. Предварительно упростим выражения, разложив их на множители.

Исходное выражение: $\frac{a^2 - ab}{8b^4} \cdot \frac{4b^3}{a - b}$

1. Разложим числитель первой дроби $a^2 - ab$ на множители, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - ab = a(a - b)$.

2. Подставим полученное выражение обратно и запишем все под одной дробной чертой: $\frac{a(a - b) \cdot 4b^3}{8b^4 \cdot (a - b)}$

3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель $(a - b)$ сокращается. Числа 4 и 8 сокращаются на 4. Степени переменной $b$ ($b^3$ и $b^4$) сокращаются на $b^3$. $\frac{a \cdot \cancel{(a - b)} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{b^3}}{\cancel{8}_2 \cdot b^{\cancel{4}} \cdot \cancel{(a - b)}} = \frac{a \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot b \cdot 1} = \frac{a}{2b}$

Ответ: $\frac{a}{2b}$

б)

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную (перевёрнутую) второй.

Исходное выражение: $\frac{a^2 - 36}{a^2 - 3a} : \frac{a^2 + 6a}{a^2 - 9}$

1. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь: $\frac{a^2 - 36}{a^2 - 3a} \cdot \frac{a^2 - 9}{a^2 + 6a}$

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Для $a^2 - 36$ и $a^2 - 9$ применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В выражениях $a^2 - 3a$ и $a^2 + 6a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки.
$a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)$
$a^2 - 3a = a(a - 3)$
$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$
$a^2 + 6a = a(a + 6)$

3. Подставим разложенные выражения в наше произведение: $\frac{(a - 6)(a + 6)}{a(a - 3)} \cdot \frac{(a - 3)(a + 3)}{a(a + 6)}$

4. Запишем всё под одной дробной чертой и произведём сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a + 6)$ и $(a - 3)$: $\frac{(a - 6)\cancel{(a + 6)}\cancel{(a - 3)}(a + 3)}{a\cancel{(a - 3)}a\cancel{(a + 6)}} = \frac{(a - 6)(a + 3)}{a \cdot a}$

5. Запишем итоговый результат: $\frac{(a - 6)(a + 3)}{a^2}$

Ответ: $\frac{(a - 6)(a + 3)}{a^2}$