Номер 3, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

a) $6x^2 + 7x - 3 = $..............................

б) $-3x^2 + 5x + 2 = $..............................

a) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $6x^2 + 7x - 3$, мы используем формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Сначала решим уравнение:
$6x^2 + 7x - 3 = 0$
Здесь коэффициенты: $a = 6$, $b = 7$, $c = -3$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
$x_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:
$6x^2 + 7x - 3 = 6 \left(x - \left(-\frac{3}{2}\right)\right) \left(x - \frac{1}{3}\right) = 6 \left(x + \frac{3}{2}\right) \left(x - \frac{1}{3}\right)$
Чтобы избавиться от дробей, распределим множитель $6$ (представив его как $2 \cdot 3$) по скобкам:
$6 \left(x + \frac{3}{2}\right) \left(x - \frac{1}{3}\right) = \left(2 \left(x + \frac{3}{2}\right)\right) \left(3 \left(x - \frac{1}{3}\right)\right) = (2x + 3)(3x - 1)$
Ответ: $(2x + 3)(3x - 1)$

б) Разложим на множители трехчлен $-3x^2 + 5x + 2$. Для этого найдем корни уравнения:
$-3x^2 + 5x + 2 = 0$
Коэффициенты: $a = -3$, $b = 5$, $c = 2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-3x^2 + 5x + 2 = -3(x - 2)\left(x - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -3(x - 2)\left(x + \frac{1}{3}\right)$
Внесем множитель $-3$ во вторую скобку, чтобы убрать дробь:
$-3(x - 2)\left(x + \frac{1}{3}\right) = (x - 2) \cdot \left(-3 \cdot \left(x + \frac{1}{3}\right)\right) = (x - 2)(-3x - 1)$
Для более удобной записи можно вынести знак минус из второй скобки и внести его в первую:
$-(x - 2)(3x + 1) = (2 - x)(3x + 1)$
Ответ: $(2 - x)(3x + 1)$