Номер 9, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Разложите на множители:

а) $9(2x - y)^2 - 4(3x - y)^2 =$

б) $10x^4y^2 - 40x^2y^4 =$

в) $(a - b)^3 - a^3 =$

а) Данное выражение $9(2x - y)^2 - 4(3x - y)^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:$9(2x - y)^2 = (3(2x - y))^2$ и $4(3x - y)^2 = (2(3x - y))^2$.
В нашем случае $A = 3(2x - y)$ и $B = 2(3x - y)$.
Подставим эти значения в формулу:
$(3(2x - y) - 2(3x - y)) \cdot (3(2x - y) + 2(3x - y))$
Теперь упростим выражения в каждой из скобок.
Первая скобка: $3(2x - y) - 2(3x - y) = 6x - 3y - (6x - 2y) = 6x - 3y - 6x + 2y = -y$.
Вторая скобка: $3(2x - y) + 2(3x - y) = 6x - 3y + 6x - 2y = 12x - 5y$.
В итоге получаем произведение: $(-y)(12x - 5y)$.
Ответ: $(-y)(12x - 5y)$.

б) В выражении $10x^4y^2 - 40x^2y^4$ первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Наибольший общий делитель для одночленов $10x^4y^2$ и $40x^2y^4$ равен $10x^2y^2$.
Выносим его за скобки: $10x^2y^2(x^2 - 4y^2)$.
Выражение в скобках $x^2 - 4y^2$ также можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, так как $4y^2 = (2y)^2$.
Здесь $A = x$ и $B = 2y$.
Получаем: $x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.
Подставляем это разложение в наше выражение:
$10x^2y^2(x - 2y)(x + 2y)$.
Ответ: $10x^2y^2(x - 2y)(x + 2y)$.

в) Выражение $(a - b)^3 - a^3$ является разностью кубов. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = a - b$ и $B = a$.
Подставляем в формулу:
$((a - b) - a) \cdot ((a - b)^2 + (a - b)a + a^2)$
Упростим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(a - b) - a = a - b - a = -b$.
Второй множитель: $(a - b)^2 + (a - b)a + a^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - ab) + a^2 = 3a^2 - 3ab + b^2$.
Объединяем упрощенные части и получаем итоговое разложение:
$-b(3a^2 - 3ab + b^2)$.
Ответ: $-b(3a^2 - 3ab + b^2)$.