Номер 6, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Упростите выражение:

a) $\frac{8 - a}{a - 4} + \frac{a - 3}{a + 1} = $

б) $\frac{2a}{a^2 - 1} + \frac{3}{1 + a} - \frac{1}{a - 1} = $

а) Чтобы упростить данное выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{8-a}{a-4}$ и $\frac{a-3}{a+1}$ равен $(a-4)(a+1)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+1)$, а второй дроби на $(a-4)$:

$\frac{8-a}{a-4} + \frac{a-3}{a+1} = \frac{(8-a)(a+1)}{(a-4)(a+1)} + \frac{(a-3)(a-4)}{(a-4)(a+1)}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(8-a)(a+1) + (a-3)(a-4)}{(a-4)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(8-a)(a+1) = 8a + 8 - a^2 - a = -a^2 + 7a + 8$

$(a-3)(a-4) = a^2 - 4a - 3a + 12 = a^2 - 7a + 12$

Подставим полученные выражения обратно в числитель дроби и приведем подобные слагаемые:

$\frac{(-a^2 + 7a + 8) + (a^2 - 7a + 12)}{(a-4)(a+1)} = \frac{-a^2 + a^2 + 7a - 7a + 8 + 12}{(a-4)(a+1)} = \frac{20}{(a-4)(a+1)}$

Знаменатель можно оставить в виде произведения или раскрыть скобки: $(a-4)(a+1) = a^2 + a - 4a - 4 = a^2 - 3a - 4$.

Ответ: $\frac{20}{(a-4)(a+1)}$ или $\frac{20}{a^2 - 3a - 4}$

б) Для упрощения выражения $\frac{2a}{a^2-1} + \frac{3}{1+a} - \frac{1}{a-1}$ сначала разложим знаменатель первой дроби на множители. Используем формулу разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Выражение примет вид:

$\frac{2a}{(a-1)(a+1)} + \frac{3}{a+1} - \frac{1}{a-1}$

Общим знаменателем для всех трех дробей является $(a-1)(a+1)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Вторую дробь домножим на $(a-1)$, а третью на $(a+1)$:

$\frac{2a}{(a-1)(a+1)} + \frac{3(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{1(a+1)}{(a-1)(a+1)}$

Выполним сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2a + 3(a-1) - (a+1)}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a + 3a - 3 - a - 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{(2a+3a-a) + (-3-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a - 4}{(a-1)(a+1)}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(a-1)}{(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$ (при условии, что $a \ne 1$):

$\frac{4}{a+1}$

Ответ: $\frac{4}{a+1}$