Номер 11, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Упростите выражение:

a) $ \frac{3y(3y - x)}{2(x^2 - y^2)} - \frac{3x}{2(x - y)} + \frac{3y}{x + y} = \dots $

б) $ \frac{x^2 + 8}{x^3 - 8} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2} = \dots $

а)

Исходное выражение: $ \frac{3y(3y - x)}{2(x^2 - y^2)} - \frac{3x}{2(x - y)} + \frac{3y}{x + y} $

Первым шагом разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{3y(3y - x)}{2(x - y)(x + y)} - \frac{3x}{2(x - y)} + \frac{3y}{x + y} $

Общий знаменатель для всех дробей — это $2(x - y)(x + y)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для второй дроби дополнительный множитель будет $(x+y)$, а для третьей — $2(x-y)$.

$ \frac{3y(3y - x)}{2(x - y)(x + y)} - \frac{3x(x + y)}{2(x - y)(x + y)} + \frac{3y \cdot 2(x - y)}{2(x - y)(x + y)} $

Объединим дроби под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3y(3y - x) - 3x(x + y) + 6y(x - y)}{2(x - y)(x + y)} = \frac{9y^2 - 3xy - (3x^2 + 3xy) + (6xy - 6y^2)}{2(x - y)(x + y)} $

$ = \frac{9y^2 - 3xy - 3x^2 - 3xy + 6xy - 6y^2}{2(x - y)(x + y)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (9y^2 - 6y^2) - 3x^2 + (-3xy - 3xy + 6xy) = 3y^2 - 3x^2 + 0 = 3y^2 - 3x^2 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{3y^2 - 3x^2}{2(x - y)(x + y)} $

Вынесем в числителе общий множитель $-3$:

$ \frac{-3(-y^2 + x^2)}{2(x - y)(x + y)} = \frac{-3(x^2 - y^2)}{2(x^2 - y^2)} $

Сократим дробь на $(x^2 - y^2)$, при условии что $x \ne y$ и $x \ne -y$:

$ -\frac{3}{2} $

Ответ: $ -\frac{3}{2} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 8}{x^3 - 8} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{x^2 + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2} $

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для второй дроби дополнительный множитель будет $(x-2)$, а для третьей — $(x^2 + 2x + 4)$.

$ \frac{x^2 + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{1(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Объединим дроби под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(x^2 + 8) + (x^2 - 2x) - (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{x^2 + 8 + x^2 - 2x - x^2 - 2x - 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (x^2 + x^2 - x^2) + (-2x - 2x) + (8 - 4) = x^2 - 4x + 4 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Числитель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$, при условии что $x \ne 2$:

$ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} $

Ответ: $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} $