Номер 17, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Сократите дробь:

a) $\frac{3 - \sqrt{b}}{3\sqrt{b} - b} =$

б) $\frac{x\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 2} =$

в) $\frac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{ab} - b} =$

г) $\frac{64 - a\sqrt{a}}{16 + 4\sqrt{a} + a} =$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{3-\sqrt{b}}{3\sqrt{b}-b}$, преобразуем её знаменатель. Заметим, что $b$ можно представить как $(\sqrt{b})^2$. Тогда знаменатель примет вид $3\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2$. Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки: $\sqrt{b}(3-\sqrt{b})$. Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{3-\sqrt{b}}{\sqrt{b}(3-\sqrt{b})}$
Сократим общий множитель $(3-\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b \ge 0$ и $b \neq 9$). В результате получаем:
$\frac{1}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b}}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим числитель $x\sqrt{x}+8$ в виде $(\sqrt{x})^3+2^3$. Здесь $a = \sqrt{x}$ и $b=2$.
Применяя формулу, получаем:
$(\sqrt{x}+2)((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{x}+2)(x-2\sqrt{x}+4)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{(\sqrt{x}+2)(x-2\sqrt{x}+4)}{\sqrt{x}+2}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x}+2)$ (он не равен нулю, т.к. $\sqrt{x} \ge 0$). Получаем:
$x-2\sqrt{x}+4$
Ответ: $x-2\sqrt{x}+4$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}-b}$, преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель $a\sqrt{a}-b\sqrt{b}$ является разностью кубов $(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3$. По формуле $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ получаем:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})((\sqrt{a})^2+\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)$.
В знаменателе $\sqrt{ab}-b$ вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{b}$:
$\sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2 = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ (при условии $a \ge 0, b > 0, a \neq b$). Получаем:
$\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{b}}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{64-a\sqrt{a}}{16+4\sqrt{a}+a}$, воспользуемся формулой разности кубов: $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Представим числитель $64-a\sqrt{a}$ в виде $4^3 - (\sqrt{a})^3$. Здесь $A=4$ и $B=\sqrt{a}$.
Применяя формулу, получаем:
$(4-\sqrt{a})(4^2+4\sqrt{a}+(\sqrt{a})^2) = (4-\sqrt{a})(16+4\sqrt{a}+a)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{(4-\sqrt{a})(16+4\sqrt{a}+a)}{16+4\sqrt{a}+a}$
Сокращаем общий множитель $(16+4\sqrt{a}+a)$ (он всегда положителен при $a \ge 0$). Получаем:
$4-\sqrt{a}$
Ответ: $4-\sqrt{a}$.