Страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

7. Решите уравнение $ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-5} $

Исходное уравнение:

$ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-5} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 2, 4, 5\}$.

Приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения.

Левая часть:

$ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - (x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{x-4-x-4}{x^2-16} = \frac{-8}{x^2-16} $

Правая часть:

$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-5} = \frac{(x-5) - (x-2)}{(x-2)(x-5)} = \frac{x-5-x+2}{x^2-7x+10} = \frac{-3}{x^2-7x+10} $

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{-8}{x^2-16} = \frac{-3}{x^2-7x+10} $

Умножим обе части на $-1$:

$ \frac{8}{x^2-16} = \frac{3}{x^2-7x+10} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), так как мы уже учли ОДЗ:

$ 8(x^2 - 7x + 10) = 3(x^2 - 16) $

Раскроем скобки:

$ 8x^2 - 56x + 80 = 3x^2 - 48 $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$ (8x^2 - 3x^2) - 56x + (80 + 48) = 0 $

$ 5x^2 - 56x + 128 = 0 $

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8 $

$ x_2 = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3.2 $

Оба корня, $x_1 = 8$ и $x_2 = 3.2$, принадлежат области допустимых значений.

Ответ: $8; 3.2$.

8. Решите уравнение $ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} $

Решение. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей: .............................

Решим полученное уравнение:

Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей:

Исходное уравнение:
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}$
Перенесем слагаемое $\frac{1}{x-4}$ в правую часть, а слагаемое $\frac{1}{x-2}$ в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные. Это позволит нам получить разности дробей в обеих частях, что упростит дальнейшие вычисления.
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}$

Решим полученное уравнение:

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \ne 1$, $x \ne 2$, $x \ne 3$, $x \ne 4$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x-2-x+1}{x^2 - 2x - x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 3x + 2}$
Теперь приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - (x-3)}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-4-x+3}{x^2 - 4x - 3x + 12} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12}$
Теперь приравняем полученные выражения:
$\frac{-1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12}$
Так как числители дробей равны (и не равны нулю), то для равенства дробей необходимо, чтобы их знаменатели также были равны:
$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 7x + 12$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-3x + 2 = -7x + 12$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$7x - 3x = 12 - 2$
$4x = 10$
$x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$
Полученное значение $x = 2.5$ входит в область допустимых значений, так как не равно 1, 2, 3 или 4.
Ответ: $2.5$.

16. Упростите:

а) $\sqrt{27a} + \sqrt{75a} - \sqrt{108a} =$

б) $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) - (\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x} =$

в) $(\sqrt{3a} + \sqrt{2b})^2 - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})^2 =$

г) $(\sqrt{c} + \sqrt{7})(c - \sqrt{7c} + 7) =$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{27a} + \sqrt{75a} - \sqrt{108a}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом из слагаемых. Для этого представим подкоренные числа в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$\sqrt{27a} = \sqrt{9 \cdot 3a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3a} = 3\sqrt{3a}$

$\sqrt{75a} = \sqrt{25 \cdot 3a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3a} = 5\sqrt{3a}$

$\sqrt{108a} = \sqrt{36 \cdot 3a} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3a} = 6\sqrt{3a}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно и приведем подобные слагаемые, так как все они содержат общий множитель $\sqrt{3a}$:

$3\sqrt{3a} + 5\sqrt{3a} - 6\sqrt{3a} = (3 + 5 - 6)\sqrt{3a} = 2\sqrt{3a}$

Ответ: $2\sqrt{3a}$

б) Упростим выражение $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) - (\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x}$ по частям.

Первая часть, $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5})$, является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{5})^2 = x - 5$

Во второй части, $-(\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x}$, раскроем скобки, умножив $\sqrt{x}$ на каждый член в скобках:

$-(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{x}) = -(x - \sqrt{5x}) = -x + \sqrt{5x}$

Теперь объединим результаты и приведем подобные члены:

$(x - 5) + (-x + \sqrt{5x}) = x - 5 - x + \sqrt{5x} = \sqrt{5x} - 5$

Ответ: $\sqrt{5x} - 5$

в) Выражение $(\sqrt{3a} + \sqrt{2b})^2 - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})^2$ является разностью квадратов вида $X^2 - Y^2$. Применим формулу сокращенного умножения $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

В нашем случае $X = \sqrt{3a} + \sqrt{2b}$ и $Y = \sqrt{3a} - \sqrt{2b}$.

Подставим их в формулу и упростим каждую из скобок:
$((\sqrt{3a} + \sqrt{2b}) - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})) \cdot ((\sqrt{3a} + \sqrt{2b}) + (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})) = $
$= (\sqrt{3a} + \sqrt{2b} - \sqrt{3a} + \sqrt{2b}) \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{2b} + \sqrt{3a} - \sqrt{2b}) = $
$= (2\sqrt{2b}) \cdot (2\sqrt{3a})$

Перемножим полученные результаты:

$(2\sqrt{2b}) \cdot (2\sqrt{3a}) = 4\sqrt{2b \cdot 3a} = 4\sqrt{6ab}$

Ответ: $4\sqrt{6ab}$

г) Рассмотрим выражение $(\sqrt{c} + \sqrt{7})(c - \sqrt{7c} + 7)$. Оно соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Проверим, подходят ли наши части под эту формулу. Пусть $a = \sqrt{c}$ и $b = \sqrt{7}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{c})^2 = c$, $ab = \sqrt{c}\cdot\sqrt{7} = \sqrt{7c}$ и $b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$.

Вторая скобка в исходном выражении $(c - \sqrt{7c} + 7)$ в точности совпадает с $a^2-ab+b^2$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов, и результат будет равен $a^3+b^3$:

$(\sqrt{c})^3 + (\sqrt{7})^3 = (\sqrt{c})^2 \cdot \sqrt{c} + (\sqrt{7})^2 \cdot \sqrt{7} = c\sqrt{c} + 7\sqrt{7}$

Ответ: $c\sqrt{c} + 7\sqrt{7}$

17. Сократите дробь:

a) $\frac{3 - \sqrt{b}}{3\sqrt{b} - b} =$

б) $\frac{x\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 2} =$

в) $\frac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{ab} - b} =$

г) $\frac{64 - a\sqrt{a}}{16 + 4\sqrt{a} + a} =$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{3-\sqrt{b}}{3\sqrt{b}-b}$, преобразуем её знаменатель. Заметим, что $b$ можно представить как $(\sqrt{b})^2$. Тогда знаменатель примет вид $3\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2$. Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки: $\sqrt{b}(3-\sqrt{b})$. Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{3-\sqrt{b}}{\sqrt{b}(3-\sqrt{b})}$
Сократим общий множитель $(3-\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b \ge 0$ и $b \neq 9$). В результате получаем:
$\frac{1}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b}}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим числитель $x\sqrt{x}+8$ в виде $(\sqrt{x})^3+2^3$. Здесь $a = \sqrt{x}$ и $b=2$.
Применяя формулу, получаем:
$(\sqrt{x}+2)((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{x}+2)(x-2\sqrt{x}+4)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{(\sqrt{x}+2)(x-2\sqrt{x}+4)}{\sqrt{x}+2}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x}+2)$ (он не равен нулю, т.к. $\sqrt{x} \ge 0$). Получаем:
$x-2\sqrt{x}+4$
Ответ: $x-2\sqrt{x}+4$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}-b}$, преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель $a\sqrt{a}-b\sqrt{b}$ является разностью кубов $(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3$. По формуле $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ получаем:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})((\sqrt{a})^2+\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)$.
В знаменателе $\sqrt{ab}-b$ вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{b}$:
$\sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2 = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ (при условии $a \ge 0, b > 0, a \neq b$). Получаем:
$\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{b}}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{64-a\sqrt{a}}{16+4\sqrt{a}+a}$, воспользуемся формулой разности кубов: $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Представим числитель $64-a\sqrt{a}$ в виде $4^3 - (\sqrt{a})^3$. Здесь $A=4$ и $B=\sqrt{a}$.
Применяя формулу, получаем:
$(4-\sqrt{a})(4^2+4\sqrt{a}+(\sqrt{a})^2) = (4-\sqrt{a})(16+4\sqrt{a}+a)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{(4-\sqrt{a})(16+4\sqrt{a}+a)}{16+4\sqrt{a}+a}$
Сокращаем общий множитель $(16+4\sqrt{a}+a)$ (он всегда положителен при $a \ge 0$). Получаем:
$4-\sqrt{a}$
Ответ: $4-\sqrt{a}$.