Страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Решите уравнение:

$x^3 + 11x^2 - 10 = 0; x^3 + x^2 + 10x^2 - 10 = 0; x^2(x + 1) + 10(x^2 - 1) = 0;$

$x^2(x + 1) + 10(x + 1)(x - 1) = 0; (x + 1)(x^2 + 10x - 10) = 0;$

$x_1 = -1, x_{2,3} = -5 \pm \sqrt{25 + 10}; x_2 = -5 - \sqrt{35}, x_3 = -5 + \sqrt{35}.$

a) $x^3 + 9x^2 - 8 = 0;$

б) $x^3 + 6x^2 - 7 = 0.$

a) $x^3 + 9x^2 - 8 = 0$

Для решения данного кубического уравнения найдем один из его целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена, то есть числа -8. Делителями числа -8 являются: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Проверим $x = -1$:
$(-1)^3 + 9(-1)^2 - 8 = -1 + 9(1) - 8 = -1 + 9 - 8 = 0$.
Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 9x^2 - 8$ делится на $(x+1)$ без остатка.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя метод группировки. Представим $9x^2$ как $x^2 + 8x^2$:
$x^3 + x^2 + 8x^2 - 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 + x^2) + (8x^2 - 8) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$x^2(x+1) + 8(x^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ко второму слагаемому:
$x^2(x+1) + 8(x-1)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)(x^2 + 8(x-1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:
$(x+1)(x^2 + 8x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$
2) $x^2 + 8x - 8 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным, с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Для уравнения $x^2 + 8x - 8 = 0$, коэффициенты $a=1, b=8, c=-8$.
Найдем дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 64 + 32 = 96$.
Найдем корни:
$x_{2,3} = \frac{-8 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{6}$.
Таким образом, $x_2 = -4 - 2\sqrt{6}$ и $x_3 = -4 + 2\sqrt{6}$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -4 - 2\sqrt{6}, x_3 = -4 + 2\sqrt{6}$.

б) $x^3 + 6x^2 - 7 = 0$

Найдем целый корень уравнения среди делителей свободного члена -7. Делители: $\pm 1, \pm 7$.

Проверим $x = 1$:
$1^3 + 6(1)^2 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем уравнения, и многочлен $x^3 + 6x^2 - 7$ делится на $(x-1)$.

Разложим левую часть на множители методом группировки. Представим $6x^2$ как $-x^2 + 7x^2$:
$x^3 - x^2 + 7x^2 - 7 = 0$

Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (7x^2 - 7) = 0$

Вынесем общие множители:
$x^2(x-1) + 7(x^2 - 1) = 0$

Используем формулу разности квадратов:
$x^2(x-1) + 7(x-1)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)(x^2 + 7(x+1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:
$(x-1)(x^2 + 7x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x^2 + 7x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 7 = 0$ с коэффициентами $a=1, b=7, c=7$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 49 - 28 = 21$.
Найдем корни:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Таким образом, $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2}$ и $x_3 = \frac{-7 + \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2}, x_3 = \frac{-7 + \sqrt{21}}{2}$.

10. Найдите корни уравнения $x^4 - 41x^2 + 400 = 0$ и сравните сумму и произведение корней с коэффициентами при $x^4, x^3, x^2, x, x^0$.

1. Нахождение корней уравнения

Данное уравнение $x^4 - 41x^2 + 400 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 41y + 400 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Оба значения $y$ положительны, что удовлетворяет условию $y \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Для $y_1 = 25$:

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Для $y_2 = 16$:

$x^2 = 16$

$x_3 = 4$, $x_4 = -4$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: $-5, -4, 4, 5$.

Ответ: Корни уравнения: $-5, -4, 4, 5$.

2. Сравнение суммы и произведения корней с коэффициентами

Запишем исходное уравнение в общем виде, указав все коэффициенты:

$1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 - 41 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 400 = 0$

Коэффициенты при степенях $x$:

• коэффициент при $x^4$ равен $1$
• коэффициент при $x^3$ равен $0$
• коэффициент при $x^2$ равен $-41$
• коэффициент при $x$ (т.е. $x^1$) равен $0$
• коэффициент при $x^0$ (свободный член) равен $400$

Теперь найдем сумму и произведение найденных корней: $x_1 = -5, x_2 = -4, x_3 = 4, x_4 = 5$.

Сумма корней:

$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = (-5) + (-4) + 4 + 5 = 0$

Сравнение: Сумма корней равна 0. Коэффициент при $x^3$ в уравнении также равен 0. Согласно обобщенной теореме Виета, для приведенного уравнения (коэффициент при старшей степени равен 1) сумма корней равна коэффициенту при $x^3$, взятому с противоположным знаком. В нашем случае это $-0=0$. Совпадение подтверждается.

Произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = (-5) \cdot (-4) \cdot 4 \cdot 5 = 20 \cdot 20 = 400$

Сравнение: Произведение корней равно 400. Свободный член уравнения (коэффициент при $x^0$) также равен 400. По теореме Виета, для приведенного уравнения четвертой степени произведение корней равно свободному члену. Совпадение подтверждается.

Для полноты анализа сравним и другие соотношения из теоремы Виета:

• Сумма попарных произведений корней: $(-5)(-4) + (-5)(4) + (-5)(5) + (-4)(4) + (-4)(5) + (4)(5) = 20 - 20 - 25 - 16 - 20 + 20 = -41$. Это в точности равно коэффициенту при $x^2$.
• Сумма произведений корней, взятых по три: $(-5)(-4)(4) + (-5)(-4)(5) + (-5)(4)(5) + (-4)(4)(5) = 80 + 100 - 100 - 80 = 0$. Это равно коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком ($-0 = 0$).

Ответ: Сумма корней равна 0, что соответствует коэффициенту при $x^3$ (он равен 0). Произведение корней равно 400, что соответствует свободному члену уравнения (коэффициенту при $x^0$).

11. При каких значениях k биквадратное уравнение $x^4 - 36x^2 + 2k = 0$ имеет четыре корня?

Данное уравнение $x^4 - 36x^2 + 2k = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то и $t$ должно быть неотрицательным, то есть $t \ge 0$. После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$: $t^2 - 36t + 2k = 0$

Исходное биквадратное уравнение будет иметь четыре различных действительных корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение для $t$ будет иметь два различных положительных корня, назовем их $t_1$ и $t_2$. В этом случае для каждого положительного значения $t$ мы получим по два различных корня для $x$: $x = \pm\sqrt{t_1}$ и $x = \pm\sqrt{t_2}$. Если $t_1, t_2 > 0$ и $t_1 \ne t_2$, то все четыре корня для $x$ будут различными.

Квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ имеет два различных положительных корня, если одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант положителен: $D > 0$.
2. Сумма корней положительна: $t_1 + t_2 > 0$.
3. Произведение корней положительно: $t_1 \cdot t_2 > 0$.

Рассмотрим эти условия для уравнения $t^2 - 36t + 2k = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-36$, $c=2k$.

1. Условие на дискриминант
Дискриминант $D$ должен быть строго положительным, чтобы уравнение имело два различных корня. $D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k) = 1296 - 8k$
Решим неравенство $D > 0$: $1296 - 8k > 0$ $1296 > 8k$ $k < \frac{1296}{8}$ $k < 162$

2. Условие на сумму корней
Согласно теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a}$. $t_1 + t_2 = -\frac{-36}{1} = 36$
Условие $t_1 + t_2 > 0$ выполняется, так как $36 > 0$. Это верно для любого значения $k$.

3. Условие на произведение корней
Согласно теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$. $t_1 \cdot t_2 = \frac{2k}{1} = 2k$
Чтобы оба корня были положительными (при условии, что их сумма уже положительна), их произведение также должно быть положительным. $2k > 0$ $k > 0$

Для нахождения искомых значений $k$ необходимо, чтобы все три условия выполнялись одновременно. Объединим полученные неравенства в систему: $\begin{cases} k < 162 \\ k > 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $(0; 162)$.

Ответ: $k \in (0; 162)$.

15. Найдите первый член и сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_2 = -2$, $a_3 = 1$.

Решение. В данной прогрессии $d = ...$, $a_1 = ...$.

$S_{15} = ...$.

Ответ: $a_1 = ...$, $S_{15} = ...$.

Решение.

Для нахождения первого члена и суммы арифметической прогрессии $(a_n)$ сначала необходимо определить её разность $d$.

1. Нахождение разности $d$.
Разность арифметической прогрессии — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Её можно найти по формуле $d = a_{n+1} - a_n$. Используя данные нам члены $a_2 = -2$ и $a_3 = 1$:
$d = a_3 - a_2 = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

2. Нахождение первого члена $a_1$.
Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, мы можем выразить первый член $a_1$ через известный второй член $a_2$:
$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$.
Отсюда $a_1 = a_2 - d$.
Подставим известные значения $a_2 = -2$ и $d = 3$:
$a_1 = -2 - 3 = -5$.

3. Нахождение суммы первых пятнадцати членов $S_{15}$.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Нам нужно найти сумму первых 15 членов, то есть $n=15$. Подставим в формулу найденные значения $a_1 = -5$ и $d=3$:
$S_{15} = \frac{2 \cdot (-5) + 3 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{-10 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{-10 + 42}{2} \cdot 15$
$S_{15} = \frac{32}{2} \cdot 15$
$S_{15} = 16 \cdot 15 = 240$.

Ответ: $a_1 = -5$, $S_{15} = 240$.

16. Найдите сумму членов с третьего по десятый включительно арифметической прогрессии $(a_n)$: $-3$; $-1$; ... .

Решение. В данной прогрессии $a_1 = ............., d = ..............$.

$S_{3-10} = S_{10} - ..............................

......................

......................

Ответ: $S_{3-10} = .................... .

Решение.

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой известны первые два члена: $a_1 = -3$ и $a_2 = -1$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

Нам нужно найти сумму членов с третьего по десятый включительно. Обозначим эту сумму как $S_{3-10}$. Ее можно найти, вычислив сумму первых десяти членов ($S_{10}$) и вычтя из нее сумму первых двух членов ($S_2$):

$S_{3-10} = S_{10} - S_2$

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Вычислим сумму первых десяти членов ($S_{10}$):

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-3) + (10-1) \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{-6 + 9 \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{-6 + 18}{2} \cdot 10 = \frac{12}{2} \cdot 10 = 6 \cdot 10 = 60$.

Теперь вычислим сумму первых двух членов ($S_2$):

$S_2 = a_1 + a_2 = -3 + (-1) = -4$.

Наконец, найдем искомую сумму $S_{3-10}$:

$S_{3-10} = S_{10} - S_2 = 60 - (-4) = 60 + 4 = 64$.

Ответ: $S_{3-10} = 64$.