Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. Решите уравнение $(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)=120.$

Решение. Так как $5+8=6+7$, то удобно каждое из произведений $(x+5)(x+8)$ и $(x+6)(x+7)$ заменить многочленом: ...............

и ............... . Введём вспомогательную переменную ...............

............... . Получим уравнение ...............

Решение.

Дано уравнение: $(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)=120$.

Так как $5+8 = 13$ и $6+7 = 13$, удобно перегруппировать множители в уравнении, чтобы выделить общую часть:

$((x+5)(x+8)) \cdot ((x+6)(x+7)) = 120$

Теперь раскроем скобки в каждой из пар.

Первое произведение: $(x+5)(x+8) = x^2 + 8x + 5x + 40 = x^2 + 13x + 40$.

Второе произведение: $(x+6)(x+7) = x^2 + 7x + 6x + 42 = x^2 + 13x + 42$.

Подставим полученные многочлены обратно в уравнение:

$(x^2 + 13x + 40)(x^2 + 13x + 42) = 120$

Введём вспомогательную переменную, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = x^2 + 13x$.

Получим уравнение относительно переменной $t$:

$(t + 40)(t + 42) = 120$

Раскроем скобки и приведём его к стандартному квадратному виду:

$t^2 + 42t + 40t + 1680 = 120$

$t^2 + 82t + 1680 - 120 = 0$

$t^2 + 82t + 1560 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 82^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1560 = 6724 - 6240 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{484} = 22$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-82 + 22}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-82 - 22}{2} = \frac{-104}{2} = -52$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = -30$, то получаем уравнение:

$x^2 + 13x = -30$

$x^2 + 13x + 30 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-13$, а их произведение равно $30$. Этим условиям удовлетворяют числа $-10$ и $-3$.

Следовательно, $x_1 = -10$ и $x_2 = -3$.

2) Если $t = -52$, то получаем уравнение:

$x^2 + 13x = -52$

$x^2 + 13x + 52 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 169 - 208 = -39$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-10; -3$.

13. Один из корней уравнения $x^3 - ax^2 + 6x - 5 = 0$ равен 5. Найдите значение $a$ и остальные корни этого уравнения.

Найдите значение a

По условию, один из корней уравнения $x^3 - ax^2 + 6x - 5 = 0$ равен 5. Это означает, что при подстановке $x=5$ в уравнение мы получим верное равенство. Используем это для нахождения параметра $a$.

Подставляем $x=5$:

$5^3 - a \cdot 5^2 + 6 \cdot 5 - 5 = 0$

Выполняем вычисления:

$125 - 25a + 30 - 5 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$150 - 25a = 0$

Решаем полученное линейное уравнение относительно $a$:

$25a = 150$

$a = \frac{150}{25}$

$a = 6$

Ответ: $a = 6$.

...и остальные корни этого уравнения

Теперь, зная значение $a=6$, мы можем записать уравнение в полном виде:

$x^3 - 6x^2 + 6x - 5 = 0$

Поскольку мы знаем, что $x_1=5$ является корнем, многочлен в левой части уравнения делится на $(x-5)$ без остатка. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 6x - 5$ на двучлен $(x-5)$. Это можно сделать, например, делением столбиком.

В результате деления получаем квадратный трехчлен: $x^2 - x + 1$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде произведения:

$(x-5)(x^2 - x + 1) = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Один корень мы уже знаем: $x-5=0 \Rightarrow x_1=5$.

Остальные корни найдем из квадратного уравнения:

$x^2 - x + 1 = 0$

Для решения этого уравнения вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

Итак, остальные два корня уравнения:

$x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

Ответ: остальные корни уравнения — это $x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$.

14. Найдите координаты точек, в которых график функции $y = x^4 - 20x^2 + 6$ пересекает:

а) ось x;

б) ось y.

а)

Точки пересечения графика функции с осью x (осью абсцисс) — это точки, в которых координата y равна нулю. Чтобы найти их, нужно решить уравнение $y=0$:

$x^4 - 20x^2 + 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены уравнение примет вид квадратного уравнения относительно t:

$t^2 - 20t + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 400 - 24 = 376$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{376}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{4 \cdot 94}}{2} = \frac{20 \pm 2\sqrt{94}}{2} = 10 \pm \sqrt{94}$

Получаем два значения для t:

$t_1 = 10 + \sqrt{94}$
$t_2 = 10 - \sqrt{94}$

Оба корня положительны, так как $\sqrt{94} \approx 9.7$, и, следовательно, $10 - \sqrt{94} > 0$. Значит, оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$:

1) $x^2 = t_1 = 10 + \sqrt{94} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{10 + \sqrt{94}}$

2) $x^2 = t_2 = 10 - \sqrt{94} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{10 - \sqrt{94}}$

Мы нашли четыре абсциссы точек пересечения. Координаты этих точек:

Ответ: $(\sqrt{10 + \sqrt{94}}, 0)$, $(-\sqrt{10 + \sqrt{94}}, 0)$, $(\sqrt{10 - \sqrt{94}}, 0)$, $(-\sqrt{10 - \sqrt{94}}, 0)$.

б)

Точка пересечения графика функции с осью y (осью ординат) — это точка, в которой координата x равна нулю. Чтобы найти ее, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = (0)^4 - 20(0)^2 + 6$

$y = 0 - 0 + 6 = 6$

Таким образом, график функции пересекает ось y в точке с координатами $(0, 6)$.

Ответ: $(0, 6)$.

17. Найдите первый член и сумму первых восьми членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = -2$, $b_3 = -1$.

Решение. В данной прогрессии $q = \dots, b_1 = \dots$

$S_8 = \dots$

..............................

Ответ: $b_1 = \dots, S_8 = \dots$

Решение.

По определению геометрической прогрессии, ее знаменатель $q$ равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Используя известные члены $b_2 = -2$ и $b_3 = -1$, находим $q$:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Первый член прогрессии $b_1$ можно найти из формулы для второго члена $b_2 = b_1 \cdot q$. Выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-2}{\frac{1}{2}} = -2 \cdot 2 = -4$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Чтобы найти сумму первых восьми членов ($n=8$), подставим найденные значения $b_1 = -4$ и $q = \frac{1}{2}$ в формулу:
$S_8 = \frac{-4((\frac{1}{2})^8 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-4(\frac{1}{256} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{-4(-\frac{255}{256})}{-\frac{1}{2}}$
$S_8 = \frac{4 \cdot \frac{255}{256}}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{255}{64}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{255}{64} \cdot 2 = -\frac{255}{32}$
Также можно представить ответ в виде смешанной дроби: $-7\frac{31}{32}$.

Ответ: $b_1 = -4, S_8 = -\frac{255}{32}$.

18. Найдите сумму членов с третьего по шестой включительно геометрической прогрессии $(b_n):$ $ \frac{1}{16}; \frac{1}{8}; \ldots $

Решение. В данной прогрессии $b_1 = \ldots, q = \ldots$

$ S_{3-6} = S_6 - \ldots $

Ответ: $ S_{3-6} = \ldots $

Решение.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой известны первые два члена: $b_1 = \frac{1}{16}$ и $b_2 = \frac{1}{8}$.

1. Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/8}{1/16} = \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = \frac{16}{8} = 2$.

2. Требуется найти сумму членов с третьего по шестой включительно, которую обозначим $S_{3-6}$. Эту сумму можно вычислить как разность между суммой первых шести членов ($S_6$) и суммой первых двух членов ($S_2$):

$S_{3-6} = S_6 - S_2$.

3. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

4. Вычислим $S_6$, подставив известные значения $b_1 = \frac{1}{16}$ и $q=2$:

$S_6 = \frac{\frac{1}{16}(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{16}(64 - 1)}{1} = \frac{1}{16} \cdot 63 = \frac{63}{16}$.

5. Вычислим $S_2$. Это можно сделать по той же формуле или просто сложив первые два члена:

$S_2 = b_1 + b_2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16}$.

6. Теперь найдем искомую сумму $S_{3-6}$ как разность $S_6$ и $S_2$:

$S_{3-6} = S_6 - S_2 = \frac{63}{16} - \frac{3}{16} = \frac{63 - 3}{16} = \frac{60}{16}$.

7. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{60}{16} = \frac{15}{4}$.

Ответ можно также представить в виде смешанного числа $3\frac{3}{4}$ или десятичной дроби $3,75$.

Ответ: $S_{3-6} = \frac{15}{4}$.

1. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $2x(5x - 7) + 5x(3 - 2x) = $

б) $(y^2 - 2y + 4)(y + 2) - y(y^2 - 1) = $

в) $(a^3 - a^2 + a - 1)(a + 1) = $

г) $(11x - 5)^2 - (10x + 1)^2 - (7x + 10)(3x - 20) = $

а) Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен, необходимо сначала раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.
$2x(5x - 7) + 5x(3 - 2x) = 2x \cdot 5x - 2x \cdot 7 + 5x \cdot 3 - 5x \cdot 2x = 10x^2 - 14x + 15x - 10x^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(10x^2 - 10x^2) + (-14x + 15x) = 0 + x = x$
Ответ: $x$

б) В этом выражении мы сначала применим формулу суммы кубов для первой части, раскроем скобки во второй части, а затем приведем подобные слагаемые.
Первая часть выражения $(y^2 - 2y + 4)(y + 2)$ является формулой суммы кубов $(a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3$, где $a=y$ и $b=2$.
$(y^2 - 2y + 4)(y + 2) = y^3 + 2^3 = y^3 + 8$
Вторая часть выражения: $-y(y^2 - 1) = -y \cdot y^2 - y \cdot (-1) = -y^3 + y$
Теперь объединим полученные результаты:
$(y^3 + 8) + (-y^3 + y) = y^3 + 8 - y^3 + y = (y^3 - y^3) + y + 8 = y + 8$
Ответ: $y + 8$

в) Для преобразования этого выражения можно перемножить многочлены "каждый с каждым" или использовать метод группировки.
Сгруппируем слагаемые в первой скобке:
$(a^3 - a^2 + a - 1) = (a^3 - a^2) + (a - 1) = a^2(a - 1) + 1(a - 1) = (a^2 + 1)(a - 1)$
Теперь исходное выражение выглядит так: $(a^2 + 1)(a - 1)(a + 1)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов для $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Получаем: $(a^2 + 1)(a^2 - 1)$.
Это еще одна разность квадратов: $(a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.
Ответ: $a^4 - 1$

г) В данном выражении необходимо последовательно раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения, и затем привести подобные слагаемые.
1. Раскроем квадрат разности $(11x - 5)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(11x - 5)^2 = (11x)^2 - 2 \cdot 11x \cdot 5 + 5^2 = 121x^2 - 110x + 25$
2. Раскроем квадрат суммы $(10x + 1)^2$ по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(10x + 1)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot 10x \cdot 1 + 1^2 = 100x^2 + 20x + 1$
3. Раскроем скобки $(7x + 10)(3x - 20)$:
$(7x + 10)(3x - 20) = 7x \cdot 3x + 7x \cdot (-20) + 10 \cdot 3x + 10 \cdot (-20) = 21x^2 - 140x + 30x - 200 = 21x^2 - 110x - 200$
4. Подставим все в исходное выражение, учитывая знаки "минус":
$(121x^2 - 110x + 25) - (100x^2 + 20x + 1) - (21x^2 - 110x - 200) = 121x^2 - 110x + 25 - 100x^2 - 20x - 1 - 21x^2 + 110x + 200$
5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(121x^2 - 100x^2 - 21x^2) + (-110x - 20x + 110x) + (25 - 1 + 200) = 0x^2 - 20x + 224 = -20x + 224$
Ответ: $-20x + 224$