Страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

18. При каких значениях p корень уравнения $11(x-2)-8(p+4)=14x-5p$ является отрицательным числом?

Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых корень данного уравнения является отрицательным числом, сначала необходимо выразить корень $x$ через параметр $p$.

Запишем исходное уравнение:
$11(x - 2) - 8(p + 4) = 14x - 5p$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$11x - 22 - 8p - 32 = 14x - 5p$
Приведем подобные слагаемые:
$11x - 8p - 54 = 14x - 5p$
Теперь сгруппируем все члены, содержащие переменную $x$, в одной части уравнения, а все остальные члены — в другой. Для этого перенесем $11x$ в правую часть, а $-5p$ в левую:
$-8p + 5p - 54 = 14x - 11x$
$-3p - 54 = 3x$
Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-3p - 54}{3}$
$x = -p - 18$

Мы нашли корень уравнения, выраженный через параметр $p$. Согласно условию задачи, корень должен быть отрицательным числом, то есть должно выполняться неравенство $x < 0$.

Подставим найденное выражение для $x$ в это неравенство:
$-p - 18 < 0$
Решим полученное линейное неравенство относительно $p$:
$-p < 18$
Умножим обе части неравенства на -1. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$p > -18$

Таким образом, корень уравнения является отрицательным числом при всех значениях $p$, больших -18.

Ответ: при $p > -18$.

19. Найдите все натуральные значения c, при которых уравнение $2cx^2 + 7x = x^2 + 3x - 0,5$ имеет два корня.

Для того чтобы найти все натуральные значения $c$, при которых данное уравнение имеет два корня, необходимо сначала привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + k = 0$.

Исходное уравнение:

$2cx^2 + 7x = x^2 + 3x - 0,5$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:

$2cx^2 - x^2 + 7x - 3x + 0,5 = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(2c - 1)x^2 + 4x + 0,5 = 0$

Это уравнение является квадратным и имеет два различных действительных корня при выполнении двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. Это гарантирует, что уравнение является квадратным.

2. Дискриминант ($D$) уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Проверим первое условие. Коэффициент при $x^2$ равен $(2c - 1)$.

$2c - 1 \neq 0$

$2c \neq 1$

$c \neq 0,5$

Поскольку по условию задачи $c$ — натуральное число (то есть $c \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), это условие всегда выполняется.

Теперь проверим второе условие. Найдем дискриминант $D$ для уравнения $(2c - 1)x^2 + 4x + 0,5 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 2c - 1$, $b = 4$, $k = 0,5$.

$D = b^2 - 4ak$

$D = 4^2 - 4 \cdot (2c - 1) \cdot 0,5$

$D = 16 - 2 \cdot (2c - 1)$

$D = 16 - 4c + 2$

$D = 18 - 4c$

Для того чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

$18 - 4c > 0$

Решим это неравенство относительно $c$:

$18 > 4c$

$c < \frac{18}{4}$

$c < 4,5$

Теперь нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $c < 4,5$.

Натуральными числами, меньшими 4,5, являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: $1, 2, 3, 4$.

1. При каких значениях $a$ дроби $\frac{4a-3}{5a+5}$ и $\frac{7-a}{3a+3}$ принимают равные значения?

1. Для того чтобы найти значения переменной a, при которых данные дроби принимают равные значения, необходимо составить и решить уравнение, приравняв эти дроби:

$ \frac{4a-3}{5a+5} = \frac{7-a}{3a+3} $

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.

1) $ 5a + 5 \neq 0 \implies 5(a+1) \neq 0 \implies a+1 \neq 0 \implies a \neq -1 $

2) $ 3a + 3 \neq 0 \implies 3(a+1) \neq 0 \implies a+1 \neq 0 \implies a \neq -1 $

Таким образом, ОДЗ нашего уравнения: $ a $ — любое число, кроме -1.

Теперь приступим к решению уравнения. Вынесем общие множители в знаменателях:

$ \frac{4a-3}{5(a+1)} = \frac{7-a}{3(a+1)} $

Так как $ a \neq -1 $, то выражение $ (a+1) $ не равно нулю, и мы можем умножить обе части уравнения на $ (a+1) $, чтобы сократить его:

$ \frac{4a-3}{5} = \frac{7-a}{3} $

Получилось уравнение в виде пропорции. Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ 3 \cdot (4a-3) = 5 \cdot (7-a) $

Раскроем скобки:

$ 12a - 9 = 35 - 5a $

Сгруппируем слагаемые с переменной a в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой:

$ 12a + 5a = 35 + 9 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 17a = 44 $

Найдем a, разделив обе части уравнения на 17:

$ a = \frac{44}{17} $

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $ a = 2\frac{10}{17} $.

Полученное значение $ a = \frac{44}{17} $ удовлетворяет ОДЗ ($ a \neq -1 $), следовательно, является решением.

Ответ: $ a = \frac{44}{17} $.

17. Найдите первый член

5. Упростите выражение $\frac{1 - y + x - xy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3}$ и найдите его значение

при $x = 8, y = 4$.

$\frac{1 - y + x - xy}{1 - 3y + 3y^2 + y^3} = \dots$

$\dots$

$\dots$

Если $x = 8, y = 4$, то $\dots$

18. Найдите сумму членов с третьего по шестой

Ответ: $\dots$

Примечание: В условии задачи на изображении есть несоответствие. В тексте вопроса (верхняя строка) знаменатель указан как $1-3y+3y^2-y^3$, что является формулой куба разности. В строке для записи решения (нижняя строка) знаменатель указан как $1-3y+3y^2+y^3$. Решение будет основано на выражении из текста вопроса, так как оно позволяет выполнить осмысленное упрощение.

Упростите выражение

Исходное выражение: $\frac{1-y+x-xy}{1-3y+3y^2-y^3}$.

Сначала разложим на множители числитель, применив метод группировки:
$1-y+x-xy = (1-y) + (x-xy) = (1-y) + x(1-y) = (1+x)(1-y)$.

Далее разложим на множители знаменатель. Выражение $1-3y+3y^2-y^3$ является разложением куба разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном случае $a=1$ и $b=y$, поэтому:
$1-3y+3y^2-y^3 = (1-y)^3$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение (при условии, что $y \neq 1$):
$\frac{(1+x)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{1+x}{(1-y)^2}$.

Ответ: $\frac{1+x}{(1-y)^2}$.

Найдите его значение при $x=8, y=4$

Подставим заданные значения $x=8$ и $y=4$ в упрощенное ранее выражение:
$\frac{1+x}{(1-y)^2} = \frac{1+8}{(1-4)^2}$.

Выполним вычисления:
$\frac{9}{(-3)^2} = \frac{9}{9} = 1$.

Ответ: 1.

6. Упростите выражение:

a) $\frac{8 - a}{a - 4} + \frac{a - 3}{a + 1} = $

б) $\frac{2a}{a^2 - 1} + \frac{3}{1 + a} - \frac{1}{a - 1} = $

а) Чтобы упростить данное выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{8-a}{a-4}$ и $\frac{a-3}{a+1}$ равен $(a-4)(a+1)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+1)$, а второй дроби на $(a-4)$:

$\frac{8-a}{a-4} + \frac{a-3}{a+1} = \frac{(8-a)(a+1)}{(a-4)(a+1)} + \frac{(a-3)(a-4)}{(a-4)(a+1)}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(8-a)(a+1) + (a-3)(a-4)}{(a-4)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(8-a)(a+1) = 8a + 8 - a^2 - a = -a^2 + 7a + 8$

$(a-3)(a-4) = a^2 - 4a - 3a + 12 = a^2 - 7a + 12$

Подставим полученные выражения обратно в числитель дроби и приведем подобные слагаемые:

$\frac{(-a^2 + 7a + 8) + (a^2 - 7a + 12)}{(a-4)(a+1)} = \frac{-a^2 + a^2 + 7a - 7a + 8 + 12}{(a-4)(a+1)} = \frac{20}{(a-4)(a+1)}$

Знаменатель можно оставить в виде произведения или раскрыть скобки: $(a-4)(a+1) = a^2 + a - 4a - 4 = a^2 - 3a - 4$.

Ответ: $\frac{20}{(a-4)(a+1)}$ или $\frac{20}{a^2 - 3a - 4}$

б) Для упрощения выражения $\frac{2a}{a^2-1} + \frac{3}{1+a} - \frac{1}{a-1}$ сначала разложим знаменатель первой дроби на множители. Используем формулу разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Выражение примет вид:

$\frac{2a}{(a-1)(a+1)} + \frac{3}{a+1} - \frac{1}{a-1}$

Общим знаменателем для всех трех дробей является $(a-1)(a+1)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Вторую дробь домножим на $(a-1)$, а третью на $(a+1)$:

$\frac{2a}{(a-1)(a+1)} + \frac{3(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{1(a+1)}{(a-1)(a+1)}$

Выполним сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2a + 3(a-1) - (a+1)}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a + 3a - 3 - a - 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{(2a+3a-a) + (-3-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a - 4}{(a-1)(a+1)}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(a-1)}{(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$ (при условии, что $a \ne 1$):

$\frac{4}{a+1}$

Ответ: $\frac{4}{a+1}$

7. Представьте в виде дроби:

a) $ \frac{a^2 - ab}{8b^4} \cdot \frac{4b^3}{a - b} = $

б) $ \frac{a^2 - 36}{a^2 - 3a} : \frac{a^2 + 6a}{a^2 - 9} = $

а)

Для выполнения умножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели. Предварительно упростим выражения, разложив их на множители.

Исходное выражение: $\frac{a^2 - ab}{8b^4} \cdot \frac{4b^3}{a - b}$

1. Разложим числитель первой дроби $a^2 - ab$ на множители, вынеся общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - ab = a(a - b)$.

2. Подставим полученное выражение обратно и запишем все под одной дробной чертой: $\frac{a(a - b) \cdot 4b^3}{8b^4 \cdot (a - b)}$

3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель $(a - b)$ сокращается. Числа 4 и 8 сокращаются на 4. Степени переменной $b$ ($b^3$ и $b^4$) сокращаются на $b^3$. $\frac{a \cdot \cancel{(a - b)} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{b^3}}{\cancel{8}_2 \cdot b^{\cancel{4}} \cdot \cancel{(a - b)}} = \frac{a \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot b \cdot 1} = \frac{a}{2b}$

Ответ: $\frac{a}{2b}$

б)

Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную (перевёрнутую) второй.

Исходное выражение: $\frac{a^2 - 36}{a^2 - 3a} : \frac{a^2 + 6a}{a^2 - 9}$

1. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь: $\frac{a^2 - 36}{a^2 - 3a} \cdot \frac{a^2 - 9}{a^2 + 6a}$

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Для $a^2 - 36$ и $a^2 - 9$ применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В выражениях $a^2 - 3a$ и $a^2 + 6a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки.
$a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)$
$a^2 - 3a = a(a - 3)$
$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$
$a^2 + 6a = a(a + 6)$

3. Подставим разложенные выражения в наше произведение: $\frac{(a - 6)(a + 6)}{a(a - 3)} \cdot \frac{(a - 3)(a + 3)}{a(a + 6)}$

4. Запишем всё под одной дробной чертой и произведём сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a + 6)$ и $(a - 3)$: $\frac{(a - 6)\cancel{(a + 6)}\cancel{(a - 3)}(a + 3)}{a\cancel{(a - 3)}a\cancel{(a + 6)}} = \frac{(a - 6)(a + 3)}{a \cdot a}$

5. Запишем итоговый результат: $\frac{(a - 6)(a + 3)}{a^2}$

Ответ: $\frac{(a - 6)(a + 3)}{a^2}$