Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

13. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{25}{x}$ и $y = x^2 + x - 25$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В точках пересечения значения координат x и y для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для y.

Даны функции:

$y = \frac{25}{x}$

$y = x^2 + x - 25$

Приравняем правые части этих уравнений:

$\frac{25}{x} = x^2 + x - 25$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в левой части уравнения есть деление на x, то $x \neq 0$.

Теперь умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

$x \cdot \frac{25}{x} = x \cdot (x^2 + x - 25)$

$25 = x^3 + x^2 - 25x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:

$x^3 + x^2 - 25x - 25 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) + (-25x - 25) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 25(x + 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - 25)(x + 1) = 0$

Выражение в первых скобках, $x^2 - 25$, является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.

Подставим разложенное выражение обратно в уравнение:

$(x - 5)(x + 5)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три возможных значения для x:

1) $x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

2) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

3) $x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного x. Для этого подставим значения x в любую из исходных функций. Проще всего использовать $y = \frac{25}{x}$.

• Для $x_1 = 5$:

  $y_1 = \frac{25}{5} = 5$. Координаты первой точки: $(5, 5)$.

• Для $x_2 = -5$:

  $y_2 = \frac{25}{-5} = -5$. Координаты второй точки: $(-5, -5)$.

• Для $x_3 = -1$:

  $y_3 = \frac{25}{-1} = -25$. Координаты третьей точки: $(-1, -25)$.

Таким образом, графики функций имеют три точки пересечения.

Ответ: $(5, 5)$; $(-5, -5)$; $(-1, -25)$.

14. Решите уравнение $
\frac{x^2 - 8x + 3}{x - 8} - \frac{x^2 + 8x + 1}{x + 8} = -\frac{5}{6}$, используя выделение целой части из дроби.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом выделения целой части из каждой дроби, как указано в условии.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2 - 8x + 3}{x - 8} - \frac{x^2 + 8x + 1}{x + 8} = -\frac{5}{6} $$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$

$x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$

1. Выделение целой части из первой дроби.

Представим числитель $x^2 - 8x + 3$ таким образом, чтобы можно было выделить множитель $(x-8)$:

$$ x^2 - 8x + 3 = x(x - 8) + 3 $$

Теперь разделим выражение на знаменатель:

$$ \frac{x^2 - 8x + 3}{x - 8} = \frac{x(x - 8) + 3}{x - 8} = \frac{x(x-8)}{x-8} + \frac{3}{x-8} = x + \frac{3}{x-8} $$

2. Выделение целой части из второй дроби.

Аналогично поступим со второй дробью. Представим числитель $x^2 + 8x + 1$, выделив множитель $(x+8)$:

$$ x^2 + 8x + 1 = x(x + 8) + 1 $$

Разделим на знаменатель:

$$ \frac{x^2 + 8x + 1}{x + 8} = \frac{x(x + 8) + 1}{x + 8} = \frac{x(x+8)}{x+8} + \frac{1}{x+8} = x + \frac{1}{x+8} $$

3. Подстановка и упрощение уравнения.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$$ \left(x + \frac{3}{x - 8}\right) - \left(x + \frac{1}{x + 8}\right) = -\frac{5}{6} $$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак "минус" перед второй скобкой:

$$ x + \frac{3}{x - 8} - x - \frac{1}{x + 8} = -\frac{5}{6} $$

Члены $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются, и уравнение значительно упрощается:

$$ \frac{3}{x - 8} - \frac{1}{x + 8} = -\frac{5}{6} $$

4. Решение полученного рационального уравнения.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-8)(x+8) = x^2 - 64$:

$$ \frac{3(x+8) - 1(x-8)}{(x-8)(x+8)} = -\frac{5}{6} $$

$$ \frac{3x + 24 - x + 8}{x^2 - 64} = -\frac{5}{6} $$

$$ \frac{2x + 32}{x^2 - 64} = -\frac{5}{6} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$$ 6(2x+32) = -5(x^2 - 64) $$

$$ 12x + 192 = -5x^2 + 320 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:

$$ 5x^2 + 12x + 192 - 320 = 0 $$

$$ 5x^2 + 12x - 128 = 0 $$

5. Решение квадратного уравнения.

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=5, b=12, c=-128$:

$$ D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-128) = 144 + 20 \cdot 128 = 144 + 2560 = 2704 $$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ x_1 = \frac{-12 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4 $$

$$ x_2 = \frac{-12 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-64}{10} = -6.4 $$

Оба найденных корня $4$ и $-6.4$ входят в область допустимых значений ($x \neq 8$ и $x \neq -8$), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $4; -6.4$