Страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

17. Применяя введение новой переменной, решите уравнение:

a) $3x^2 + \frac{3}{x^2} - x - \frac{1}{x} - 24 = 0$

б) $2x^2 + \frac{2}{x^2} = 2 + x + \frac{1}{x}$

a) Исходное уравнение: $3x^2 + \frac{3}{x^2} - x - \frac{1}{x} - 24 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые в уравнении:

$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 24 = 0$.

Это уравнение является симметрическим (возвратным). Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить через $t$ выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Теперь подставим выражения для $x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2}$ в исходное уравнение:

$3(t^2 - 2) - t - 24 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 6 - t - 24 = 0$

$3t^2 - t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 19}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 19}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$ и найдем корни исходного уравнения.

1) При $t = \frac{10}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.

Умножим обе части на $3x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_x = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2) При $t = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$.

Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_x = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.

$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

Все четыре найденных корня входят в ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{3}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

б) Исходное уравнение: $2x^2 + \frac{2}{x^2} = 2 + x + \frac{1}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:

$2x^2 + \frac{2}{x^2} - (x + \frac{1}{x}) - 2 = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 2 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем пункте, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$2(t^2 - 2) - t - 2 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4 - t - 2 = 0$

$2t^2 - t - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$t_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$.

Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = 0$.

Отсюда получаем единственный корень $x_1 = 1$.

2) При $t = -\frac{3}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$.

Умножим обе части на $2x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$2x^2 + 2 = -3x$

$2x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_x = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как дискриминант $D_x < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $1$.

6. Найдите три последовательных чётных числа, таких, что сумма квадратов первых двух из них равна квадрату третьего числа.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $2k$ — меньшее чётное число. Тогда следующие за ним чётные числа $2k+2$ и $2k+4$, их квадраты $(2k)^2$ и $(2k+2)^2$. По условию задачи составим и решим уравнение:

$(2k)^2 + (2k+2)^2 = (2k+4)^2$

$4k^2 + (4k^2 + 8k + 4) = 4k^2 + 16k + 16$

$8k^2 + 8k + 4 = 4k^2 + 16k + 16$

$4k^2 - 8k - 12 = 0$

$k^2 - 2k - 3 = 0$

По теореме Виета:

$k_1 = 3$, $k_2 = -1$

Если $k = 3$, то искомые числа: $2k = 6$, $2k+2 = 8$, $2k+4 = 10$.

Если $k = -1$, то искомые числа: $2k = -2$, $2k+2 = 0$, $2k+4 = 2$.

Значит, искомые числа 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

Решение. Пусть $2k$ — меньшее чётное число. Тогда следующие за ним чётные числа $2k + 2$ и $2k + 4$, их квадраты $(2k)^2$, $(2k + 2)^2$ и $(2k + 4)^2$. По условию задачи составим и решим уравнение:

$(2k)^2 + (2k+2)^2 = (2k+4)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы:

$4k^2 + (4k^2 + 8k + 4) = 4k^2 + 16k + 16$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$8k^2 + 8k + 4 - 4k^2 - 16k - 16 = 0$

$4k^2 - 8k - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$k^2 - 2k - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $k_1 + k_2 = 2$

Произведение корней: $k_1 \cdot k_2 = -3$

Подбором находим корни: $k_1 = 3$ и $k_2 = -1$.

Значит, существуют две возможные тройки чисел.

1. Если $k = 3$, то искомые числа:

• Первое число: $2k = 2 \cdot 3 = 6$
• Второе число: $2k + 2 = 6 + 2 = 8$
• Третье число: $2k + 4 = 6 + 4 = 10$

Получаем тройку чисел (6, 8, 10). Проверка: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, что равно $10^2$.

2. Если $k = -1$, то искомые числа:

• Первое число: $2k = 2 \cdot (-1) = -2$
• Второе число: $2k + 2 = -2 + 2 = 0$
• Третье число: $2k + 4 = -2 + 4 = 2$

Получаем тройку чисел (-2, 0, 2). Проверка: $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$, что равно $2^2$.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

7. В равнобедренном треугольнике основание больше высоты, проведённой к основанию, на 6 см, а площадь его равна 108 $см^2$. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть высота треугольника равна $x$ см, тогда его основа- ние — .......... см. Площадь треугольника равна ...................., что по условию задачи составляет 108 $см^2$.

Следовательно,

....................

Решим это уравнение:

....................

....................

....................

Основание треугольника равно

.................. см, тогда боковая сто- рона равна ................... см.

Ответ:

....................

Решение. Пусть высота треугольника равна $x$ см, тогда его основание — $x + 6$ см. Площадь треугольника равна $\frac{1}{2}x(x+6)$, что по условию задачи составляет 108 см².

Следовательно, можно составить уравнение:
$\frac{1}{2}x(x+6) = 108$

Решим это уравнение:
$x(x+6) = 216$
$x^2 + 6x - 216 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-6 + 30}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-6 - 30}{2} = -18$.
Поскольку длина высоты не может быть отрицательной, то высота треугольника равна 12 см.

Основание треугольника равно $12 + 6 = 18$ см.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Она делит основание на два равных отрезка по $\frac{18}{2} = 9$ см. Боковая сторона является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота (12 см) и половина основания (9 см).
По теореме Пифагора найдем боковую сторону:
$\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

Основание треугольника равно 18 см, тогда боковая сторона равна 15 см.

Ответ: 15 см.