Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. В сплаве магния и алюминия содержалось 22 кг алюминия. После того как в сплав добавили 15 кг магния, процентное содержание магния повысилось на 33%. Найдите первоначальную массу сплава.

Решение. Пусть первоначальная масса сплава $x$ кг, в нём содержалось $(x - 22)$ кг магния. Заполним таблицу.

Масса сплава, кг

Масса магния, кг

Процентное содержание магния в сплаве

Было

$x$

$x - 22$

$\frac{x - 22}{x} \cdot 100\%$

Стало

$x + 15$

$x - 7$

$\frac{x - 7}{x + 15} \cdot 100\%$

По условию задачи процентное содержание магния повысилось на 33%.

Составим и решим уравнение:

Для решения задачи обозначим первоначальную массу сплава через $x$ кг. Поскольку в сплаве содержалось 22 кг алюминия, масса магния в первоначальном сплаве составляла $(x - 22)$ кг.

Заполним таблицу, аналогичную приведенной в условии, для наглядности.

Было:

Первоначально масса всего сплава была $x$ кг, а масса магния в нем — $(x - 22)$ кг. Процентное содержание магния в сплаве вычисляется как отношение массы магния к массе всего сплава, умноженное на 100%:

Процентное содержание магния = $\frac{x-22}{x} \cdot 100\%$

Стало:

После добавления 15 кг магния масса сплава увеличилась и стала равной $(x + 15)$ кг. Масса магния в новом сплаве также увеличилась и стала равной $(x - 22 + 15) = (x - 7)$ кг. Соответственно, новое процентное содержание магния в сплаве составило:

Процентное содержание магния = $\frac{x-7}{x+15} \cdot 100\%$

Составим и решим уравнение:

По условию задачи, процентное содержание магния повысилось на 33%. Это означает, что разница между новым и старым процентным содержанием составляет 33. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{x-7}{x+15} \cdot 100 - \frac{x-22}{x} \cdot 100 = 33$

Разделим обе части уравнения на 100:

$\frac{x-7}{x+15} - \frac{x-22}{x} = 0.33$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+15)$:

$\frac{x(x-7) - (x-22)(x+15)}{x(x+15)} = 0.33$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2 - 7x) - (x^2 + 15x - 22x - 330)}{x^2 + 15x} = 0.33$

$\frac{x^2 - 7x - (x^2 - 7x - 330)}{x^2 + 15x} = 0.33$

$\frac{x^2 - 7x - x^2 + 7x + 330}{x^2 + 15x} = 0.33$

$\frac{330}{x^2 + 15x} = 0.33$

Выразим $x^2 + 15x$:

$x^2 + 15x = \frac{330}{0.33}$

$x^2 + 15x = 1000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 1000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 225 + 4000 = 4225$

Найдем корни уравнения ($x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$):

$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

$x_1 = \frac{-15 + 65}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-15 - 65}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как масса сплава не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -40$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная масса сплава составляла 25 кг.

Проверка:

1. Первоначальная масса сплава 25 кг. Масса магния: $25 - 22 = 3$ кг. Процентное содержание магния: $\frac{3}{25} \cdot 100\% = 12\%$.

2. Новая масса сплава: $25 + 15 = 40$ кг. Новая масса магния: $3 + 15 = 18$ кг. Новое процентное содержание магния: $\frac{18}{40} \cdot 100\% = 45\%$.

3. Разница в процентном содержании: $45\% - 12\% = 33\%$. Условие задачи выполнено.

Ответ: первоначальная масса сплава 25 кг.

18. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:

а) парабола $y=x^2-6x+8$ и прямая $y=4-x$;

б) прямая $y=\frac{1}{2}x+2$ и гипербола $y=\frac{6}{x}$.

а) парабола $y=x^2-6x+8$ и прямая $y=4-x$;

Для того чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций, необходимо найти их общие точки. В точках пересечения координаты $x$ и $y$ у графиков совпадают. Следовательно, мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений:

$x^2-6x+8 = 4-x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2-6x+x+8-4=0$

$x^2-5x+4=0$

Наличие или отсутствие действительных корней у этого уравнения определит, пересекаются ли графики. Для этого найдем дискриминант $D=b^2-4ac$:

В нашем уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Поскольку дискриминант $D=9 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют два разных значения $x$, при которых значения $y$ для параболы и прямой совпадают. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: парабола и прямая пересекаются.

б) прямая $y=\frac{1}{2}x+2$ и гипербола $y=\frac{6}{x}$.

Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) возможных точек пересечения. Заметим, что для гиперболы $y=\frac{6}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю ($x \ne 0$).

$\frac{1}{2}x+2 = \frac{6}{x}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $2x$ (это допустимо, так как $x \ne 0$):

$2x \cdot (\frac{1}{2}x+2) = 2x \cdot \frac{6}{x}$

$x^2 + 4x = 12$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2+4x-12=0$

Теперь найдем дискриминант $D=b^2-4ac$ для этого уравнения:

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-12$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Поскольку дискриминант $D=64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это значит, что прямая и гипербола имеют две общие точки.

Ответ: прямая и гипербола пересекаются.

19. В арифметической прогрессии ($a_n$): $a_1 = 6$, $a_{21} = 52$. Найдите $a_{10}$.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Найдём разность арифметической прогрессии:

$d = $ ...................

19. В арифметической прогрессии ($a_n$): $a_1 = 6$, $a_{21} = 52$. Найдите $a_{10}$.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Найдём разность арифметической прогрессии:

$d = $ ...................

Решение. Найдём разность арифметической прогрессии:

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
Для $n=21$ формула примет вид: $a_{21} = a_1 + (21-1)d$.
Подставим известные значения $a_1 = 6$ и $a_{21} = 52$ в формулу:
$52 = 6 + 20d$
Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$20d = 52 - 6$
$20d = 46$
$d = \frac{46}{20} = 2.3$

Найдём $a_{10}$:

Теперь, зная первый член $a_1=6$ и разность прогрессии $d=2.3$, мы можем найти десятый член прогрессии, используя ту же формулу для $n=10$:
$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d$
Подставим известные значения:
$a_{10} = 6 + 9 \cdot 2.3$
$a_{10} = 6 + 20.7$
$a_{10} = 26.7$

Ответ: $26.7$.