Страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. При каких значениях t верно неравенство:

а) $t^2 \le 79t$;

б) $1,6t^2 \le 25,6?$

а)

Чтобы решить неравенство $t^2 \le 79t$, перенесем все члены в левую часть, чтобы с одной стороны был ноль:
$t^2 - 79t \le 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t - 79) \le 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t(t - 79) = 0$. Корнями являются $t_1 = 0$ и $t_2 = 79$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 79]$ и $[79; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $y(t) = t^2 - 79t$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен (равен 1). Это означает, что функция принимает отрицательные или равные нулю значения на промежутке между корнями.

Следовательно, неравенство $t(t - 79) \le 0$ выполняется при $t$, принадлежащем отрезку от 0 до 79 включительно.

Ответ: $t \in [0; 79]$

б)

Рассмотрим неравенство $1.6t^2 \le 25.6$.
Разделим обе части неравенства на 1.6:
$t^2 \le \frac{25.6}{1.6}$
$t^2 \le 16$

Перенесем 16 в левую часть:
$t^2 - 16 \le 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(t - 4)(t + 4) \le 0$

Корнями соответствующего уравнения $(t - 4)(t + 4) = 0$ являются $t_1 = 4$ и $t_2 = -4$.
График функции $y(t) = t^2 - 16$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y(t) \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением является промежуток от -4 до 4 включительно.

Ответ: $t \in [-4; 4]$

6. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{x^2 + x - 132}$;

б) $y = \frac{\sqrt{16x^2 - 1}}{x - 2}$.

.........................

.........................

.........................

Ответ: a) ......................... б) .........................

а) $y = \sqrt{x^2 + x - 132}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 + x - 132 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 132 = 0$, используя формулу корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$

Графиком функции $y = x^2 + x - 132$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -12$ или $x \ge 11$.

Записывая в виде объединения промежутков, получаем область определения функции.

Ответ: $(-\infty; -12] \cup [11; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{16x^2 - 1}}{x - 2}$

Область определения данной функции определяется двумя ограничениями:

1. Выражение под знаком квадратного корня в числителе должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 16x^2 - 1 \ge 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $16x^2 - 1 \ge 0$.

Это квадратное неравенство. Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(4x - 1)(4x + 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(4x - 1)(4x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1/4$ и $x_2 = 1/4$.

Графиком функции $y = 16x^2 - 1$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент $16 > 0$). Значит, неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \le -1/4$ или $x \ge 1/4$. В виде промежутков: $(-\infty; -1/4] \cup [1/4; +\infty)$.

Теперь решим второе условие: $x - 2 \neq 0$.

$x \neq 2$

Для нахождения итоговой области определения функции необходимо совместить оба условия. То есть, из множества решений первого неравенства $(-\infty; -1/4] \cup [1/4; +\infty)$ нужно исключить точку $x=2$.

Точка $x=2$ попадает в промежуток $[1/4; +\infty)$. Исключив ее, мы разделим этот промежуток на два: $[1/4; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Объединяя все части, получаем окончательную область определения.

Ответ: $(-\infty; -1/4] \cup [1/4; 2) \cup (2; +\infty)$.

25. Решите графически уравнение:

а) $x^3 = \sqrt{x}$

....................

....................

....................

....................

б) $x^2 - 2x = -\frac{3}{x}$

....................

....................

....................

....................

а) y

1-

0 1 x

б) y

1-

0 1 x

Ответ: а) ...................

б) ...................

a) Чтобы решить уравнение $x^3 = \sqrt{x}$ графически, нужно построить в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

1. Построим график функции $y = x^3$ (кубическая парабола). Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости.

Графики пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек $x=0$ и $x=1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

б) Чтобы решить уравнение $x^2 - 2x = -\frac{3}{x}$ графически, представим его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Пусть $f(x) = x^2 - 2x$ и $g(x) = -\frac{3}{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций. Заметим, что $x \ne 0$.

1. Построим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
Координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина в точке $(1, -1)$.
Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = -\frac{3}{x}$. Это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.
Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости.

Из таблиц и графика видно, что графики пересекаются в одной точке с координатами $(-1, 3)$. Абсцисса этой точки $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = -1$.