Страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Решите неравенство $(x - 4)(x + 2)(x - 8) < 0$.

Решение.

Отметим на координатной прямой нули функции $f(x)=(x - 4)(x + 2)(x - 8)$.

Укажем знак функции в крайнем справа интервале и определим знаки функции в других интервалах, используя условие чередования знаков. Найдём интервалы, в которых значение произведения $(x - 4)(x + 2)(x - 8)$ отрицательно.

Ответ:

Решение.

Для решения данного неравенства $(x-4)(x+2)(x-8) < 0$ применим метод интервалов, следуя предложенному плану.

1. Нахождение нулей функции.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x-4)(x+2)(x-8)$. Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x)=0$. Приравняем каждый множитель к нулю:

• $x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$
• $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
• $x - 8 = 0 \implies x_3 = 8$

2. Нанесение нулей на координатную прямую.
Отметим найденные нули (-2, 4, 8) на координатной прямой. Поскольку неравенство строгое (<, а не $\le$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в итоговое решение. Эти точки разделят прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4)$, $(4; 8)$ и $(8; +\infty)$.

3. Определение знаков в интервалах.
Определим знак функции $f(x)$ в крайнем правом интервале $(8; +\infty)$. Возьмем любое число из этого интервала, например, $x=10$.
$f(10) = (10-4)(10+2)(10-8) = (6)(12)(2) = 144$.
Значение положительное ($144 > 0$), значит, в интервале $(8; +\infty)$ функция имеет знак "+".

Так как все корни уравнения $f(x)=0$ имеют нечетную кратность (каждый корень встречается один раз), то знаки в интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, расставим знаки:

4. Выбор интервалов и запись ответа.
Согласно условию неравенства $(x-4)(x+2)(x-8) < 0$, нам нужны интервалы, где функция $f(x)$ отрицательна, то есть те, где стоит знак "–".
Из схемы видно, что это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(4; 8)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; 8)$.

2. При каких значениях m произведение $(m+8)(m+7)m(m-1)$ принимает положительное значение?

Для того чтобы произведение $(m+8)(m+7)m(m-1)$ принимало положительное значение, необходимо решить следующее неравенство:

$(m+8)(m+7)m(m-1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Нахождение нулей выражения
Сначала найдем значения $m$, при которых выражение равно нулю. Это точки, в которых выражение может поменять свой знак.

$(m+8)(m+7)m(m-1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$m+8=0 \implies m_1 = -8$
$m+7=0 \implies m_2 = -7$
$m=0 \implies m_3 = 0$
$m-1=0 \implies m_4 = 1$

2. Анализ интервалов на числовой оси
Нанесем полученные точки (нули) на числовую прямую в порядке возрастания: $-8, -7, 0, 1$. Эти точки делят прямую на пять интервалов:

$(-\infty; -8)$, $(-8; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$

Поскольку неравенство строгое (знак $>$, а не $\ge$), сами точки $-8, -7, 0, 1$ не входят в решение.

3. Определение знака выражения на каждом интервале
Определим знак произведения на каждом из интервалов. Можно взять по одной пробной точке из каждого интервала, либо определить знак на крайнем правом интервале и далее чередовать знаки, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Возьмем точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например, $m=2$:
$(2+8)(2+7)(2)(2-1) = 10 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 1 = 180$. Значение положительное, ставим знак «+».

Теперь, двигаясь справа налево через каждый корень, меняем знак на противоположный:

• Интервал $(1; +\infty)$: знак «+»
• Интервал $(0; 1)$: знак «-»
• Интервал $(-7; 0)$: знак «+»
• Интервал $(-8; -7)$: знак «-»
• Интервал $(-\infty; -8)$: знак «+»

4. Формирование ответа
Нас интересуют значения $m$, при которых произведение положительно, то есть те интервалы, где мы поставили знак «+».

Это интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-7; 0)$ и $(1; +\infty)$.

Объединяем эти интервалы, чтобы получить окончательное решение.

Ответ: $m \in (-\infty; -8) \cup (-7; 0) \cup (1; +\infty)$.

3. Решите неравенство, используя метод интервалов:

a) $x(9-x)(x+16)(24+x)>0$;

б) $-(2-x)(4+x)(x-11)>0$.

а) Решим неравенство $x(9 - x)(x + 16)(24 + x) > 0$.
Для применения метода интервалов приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициент при $x$ в каждом множителе положителен.
Вынесем знак минус из скобки $(9 - x)$:
$x \cdot (-(x - 9))(x + 16)(x + 24) > 0$
$-x(x - 9)(x + 16)(x + 24) > 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x(x - 9)(x + 16)(x + 24) < 0$
Теперь найдем нули функции $f(x) = x(x - 9)(x + 16)(x + 24)$, приравняв ее к нулю:
$x_1 = 0$
$x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$
$x + 16 = 0 \implies x_3 = -16$
$x + 24 = 0 \implies x_4 = -24$
Расположим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-24, -16, 0, 9$. Эти точки разбивают прямую на пять интервалов.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=10$:
$10(10 - 9)(10 + 16)(10 + 24) = 10 \cdot 1 \cdot 26 \cdot 34 > 0$. Знак «+».
Поскольку все корни имеют нечетную степень (первую), знаки в интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на интервалах справа налево:
$(9; +\infty): +$
$(0; 9): -$
$(-16; 0): +$
$(-24; -16): -$
$(-\infty; -24): +$
Мы ищем решения для неравенства $x(x - 9)(x + 16)(x + 24) < 0$, то есть нам нужны интервалы со знаком «-».
Это интервалы $(-24; -16)$ и $(0; 9)$.

Ответ: $x \in (-24, -16) \cup (0, 9)$.

б) Решим неравенство $-(2 - x)(4 + x)(x - 11) > 0$.
Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем знак минус из скобки $(2 - x)$:
$-(-(x - 2))(x + 4)(x - 11) > 0$
Два знака минус дают плюс:
$(x - 2)(x + 4)(x - 11) > 0$
Найдем нули функции $g(x) = (x - 2)(x + 4)(x - 11)$, приравняв ее к нулю:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
$x - 11 = 0 \implies x_3 = 11$
Расположим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-4, 2, 11$. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=12$:
$(12 - 2)(12 + 4)(12 - 11) = 10 \cdot 16 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
Поскольку все корни имеют нечетную степень (первую), знаки в интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на интервалах справа налево:
$(11; +\infty): +$
$(2; 11): -$
$(-4; 2): +$
$(-\infty; -4): -$
Мы ищем решения для неравенства $(x - 2)(x + 4)(x - 11) > 0$, то есть нам нужны интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-4; 2)$ и $(11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, 2) \cup (11, +\infty)$.

30. Поп нанял работника Балду на год, обещал ему 120 р. и красный кафтан. Однако, проработав 7 месяцев, Балда стал просить у попа расчёт и получил за работу 50 р. и красный кафтан. Сколько стоил кафтан?

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть $x$ р. стоил красный кафтан. За год работы поп обещал заплатить ............ р. По условию задачи Балда отработал 7 месяцев, т. е. ............ (часть) года и получил ............ р. Составим и решим уравнение:

Решение. Пусть $x$ р. стоил красный кафтан. За год работы поп обещал заплатить $120 + x$ р. По условию задачи Балда отработал 7 месяцев, т. е. $\frac{7}{12}$ (часть) года и получил $50 + x$ р. Составим и решим уравнение:

Стоимость работы за 7 месяцев должна быть пропорциональна годовой оплате. Годовая оплата составляет $120$ рублей и кафтан, то есть ее общая стоимость равна $(120 + x)$ рублей. За 7 месяцев Балда должен был получить $\frac{7}{12}$ от этой суммы. Фактически он получил $50$ рублей и кафтан, то есть $(50 + x)$ рублей.

Приравняем стоимость выполненной работы к полученной оплате:

$\frac{7}{12}(120 + x) = 50 + x$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателя:

$7(120 + x) = 12(50 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$7 \cdot 120 + 7x = 12 \cdot 50 + 12x$

$840 + 7x = 600 + 12x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$840 - 600 = 12x - 7x$

Упростим выражение:

$240 = 5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{240}{5}$

$x = 48$

Таким образом, стоимость кафтана составляет 48 рублей.

Ответ: 48 рублей.

31. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y - xy = 1, \\ x + y + xy = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 1, \\ x + y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^3 - y^3 = 26; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6, \\ \sqrt{xy} = 8. \end{cases}$

Ответ:

a) ........................

б) ........................

в) ........................

г) ........................

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y - xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем новые переменные: $a = x + y$, $b = xy$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 9 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $(a - b) + (a + b) = 1 + 9 \implies 2a = 10 \implies a = 5$.
Подставим $a=5$ в любое из уравнений, например, в первое: $5 - b = 1 \implies b = 4$.
Вернемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $$ Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
Таким образом, решениями системы являются пары $(1, 4)$ и $(4, 1)$.
Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} (x - y)^2 = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Из первого уравнения следует, что $x - y = 1$ или $x - y = -1$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
Подставим $x=2$ во второе уравнение: $2 + y = 3 \implies y = 1$.
Получили решение $(2, 1)$.
Случай 2: $$ \begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(x - y) + (x + y) = -1 + 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
Подставим $x=1$ во второе уравнение: $1 + y = 3 \implies y = 2$.
Получили решение $(1, 2)$.
Ответ: $(2, 1), (1, 2)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^3 - y^3 = 26 \end{cases} $$ Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 26$.
Подставим в это уравнение значение $x - y = 2$ из первого уравнения системы:
$2(x^2 + xy + y^2) = 26 \implies x^2 + xy + y^2 = 13$.
Теперь решаем новую систему: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + xy + y^2 = 13 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x = y + 2$ и подставим во второе уравнение:
$(y + 2)^2 + (y + 2)y + y^2 = 13$
$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 13$
$3y^2 + 6y + 4 = 13$
$3y^2 + 6y - 9 = 0$
Разделим все уравнение на 3: $y^2 + 2y - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем решение $(3, 1)$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Получаем решение $(-1, -3)$.
Ответ: $(3, 1), (-1, -3)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6 \\ \sqrt{xy} = 8 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$.
Введем замену переменных: $u = \sqrt{x}$, $v = \sqrt{y}$ ($u \ge 0, v \ge 0$).
Второе уравнение можно записать как $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 8$, то есть $uv = 8$.
Система в новых переменных выглядит так: $$ \begin{cases} u + v = 6 \\ uv = 8 \end{cases} $$ Согласно теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Найдем корни: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
$t_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
Оба корня положительны, что соответствует условиям $u \ge 0, v \ge 0$.
Возможны два случая:
1) $u = 2, v = 4$. Возвращаемся к исходным переменным: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$; $\sqrt{y} = 4 \implies y = 16$. Решение: $(4, 16)$.
2) $u = 4, v = 2$. Возвращаемся к исходным переменным: $\sqrt{x} = 4 \implies x = 16$; $\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$. Решение: $(16, 4)$.
Ответ: $(4, 16), (16, 4)$.