Страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

13. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 15 - 8x}}{x^2 - 4}$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 49}}{x^2 + 7x}$

a)

y

0

x

б)

y

0

x

а) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 15 - 8x}}{x^2 - 4}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции должны выполняться два условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$x^2 + 15 - 8x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 - 4 \ne 0$

Решим систему этих условий:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 4 \ne 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Значит, трехчлен принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе условие: $x^2 - 4 \ne 0$.

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ne 0$.

Отсюда получаем, что $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Мы должны исключить точки $x=2$ и $x=-2$ из множества $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

Точки $-2$ и $2$ обе принадлежат промежутку $(-\infty, 3]$. Исключая их, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, 3] \cup [5, \infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 49}}{x^2 + 7x}$

Область определения функции определяется следующими условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x^2 - 49 \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 7x \ne 0$

Решим систему этих условий:

$\begin{cases} x^2 - 49 \ge 0 \\ x^2 + 7x \ne 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 49 \ge 0$.

Перенесем 49 в правую часть: $x^2 \ge 49$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \ge 7$, то есть $x \le -7$ или $x \ge 7$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [7, \infty)$.

2. Решим второе условие: $x^2 + 7x \ne 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 7) \ne 0$.

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x \ne 0$ и $x + 7 \ne 0$.

Отсюда получаем, что $x \ne 0$ и $x \ne -7$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Мы должны исключить точки $x=0$ и $x=-7$ из множества $(-\infty, -7] \cup [7, \infty)$.

Точка $x = -7$ входит в это множество как конец промежутка $(-\infty, -7]$. Мы должны ее исключить, поэтому скобка станет круглой.

Точка $x = 0$ не входит в множество $(-\infty, -7] \cup [7, \infty)$, поэтому это условие не вносит дополнительных ограничений.

Объединяя результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup [7, \infty)$.

14. Покажите с помощью стрелок, что представляет собой множество решений неравенства.

$x^2 + 16 < 0$

Пустое множество

$x^2 - 5x - 24 > 0$

$x^2 \ge 9$

Числовой промежуток

$0,8x^2 + 3,2 > 0$

$x^2 \le 64$

Объединение двух числовых промежутков

$2x - x^2 + 6 < 0$

$x^2 - x \le 1$

Множество всех точек

$x^2 + 4x + 14 \ge 0$

$x^2 + 16 < 0$

Чтобы решить это неравенство, перенесем 16 в правую часть: $x^2 < -16$. Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство, в котором неотрицательная величина ($x^2$) должна быть меньше отрицательной величины (-16), не имеет решений в множестве действительных чисел. Следовательно, множество решений является пустым.

Ответ: Пустое множество.

$x^2 \ge 9$

Это неравенство можно рассматривать как $|x| \ge 3$. Оно распадается на два случая: $x \ge 3$ и $x \le -3$. Решением является совокупность этих двух условий. На числовой прямой это два луча, идущие от -3 влево и от 3 вправо. Таким образом, множество решений есть $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$, что является объединением двух числовых промежутков.

Ответ: Объединение двух числовых промежутков.

$x^2 \le 64$

Это неравенство равносильно $|x| \le 8$. Это, в свою очередь, эквивалентно двойному неравенству $-8 \le x \le 8$. Множество решений представляет собой замкнутый интервал (отрезок) от -8 до 8. Таким образом, решением является числовой промежуток $[-8, 8]$.

Ответ: Числовой промежуток.

$x^2 - x \le 1$

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x - 1 \le 0$. Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 1 = 0$. Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 1$ направлены вверх, неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями. Таким образом, решением является отрезок $[\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$, что представляет собой числовой промежуток.

Ответ: Числовой промежуток.

$x^2 - 5x - 24 > 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$. По теореме Виета, корни равны 8 и -3. Неравенство можно переписать в виде $(x-8)(x+3) > 0$. Графиком функции $y=x^2 - 5x - 24$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y>0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Следовательно, решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty)$. Это объединение двух числовых промежутков.

Ответ: Объединение двух числовых промежутков.

$0,8x^2 + 3,2 > 0$

Перенесем постоянный член вправо: $0,8x^2 > -3,2$. Разделим обе части на 0,8 (положительное число, знак не меняется): $x^2 > -4$. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), он всегда будет больше любого отрицательного числа, в частности -4. Таким образом, неравенство верно для любого действительного числа $x$. Множество решений - вся числовая прямая.

Ответ: Множество всех точек.

$2x - x^2 + 6 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 6 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 6$ направлены вверх, неравенство $y>0$ выполняется вне интервала между корнями. Решение: $x \in (-\infty, 1-\sqrt{7}) \cup (1+\sqrt{7}, +\infty)$. Это объединение двух числовых промежутков.

Ответ: Объединение двух числовых промежутков.

$x^2 + 4x + 14 \ge 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 14$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4(1)(14) = 16 - 56 = -40$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D<0$), парабола не пересекает ось Ох и полностью лежит выше нее. Это означает, что выражение $x^2 + 4x + 14$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $x^2 + 4x + 14 \ge 0$ верно для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Множество всех точек.

29. Из одного пункта выехали два велосипедиста со скоростями 15 и 20 км/ч. Через час из этого же пункта выехал автобус, который обогнал первого велосипедиста и через 10 мин догнал второго. Найдите скорость автобуса.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса, $t$ ч он ехал до встречи с первым велосипедистом. Тогда автобус до встречи проделал

путь, равный .................... км, а первый велосипедист .................... км. Так как автобус и первый велосипедист проехали до встречи одинаковое расстояние, то

.................... (1)

Так как через 10 мин после встречи с первым велосипедистом автобус догнал второго, то автобус до встречи со вторым велосипедистом проделал путь, равный .................... км, а второй велосипедист .................... км. Так как автобус и второй велосипедист проехали до встречи одинаковое расстояние, то

.................... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

....................

....................

....................

Следовательно, скорость автобуса равна .................... км/ч.

Ответ: ....................

Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса, а $t$ ч — время, которое он ехал до встречи с первым велосипедистом. Тогда автобус до встречи проделал путь, равный $xt$ км, а первый велосипедист, который был в пути $(1+t)$ ч, проделал путь $15(1+t)$ км. Так как автобус и первый велосипедист проехали до встречи одинаковое расстояние, то получаем первое уравнение:

$xt = 15(1+t)$ (1)

Через 10 мин ($\frac{1}{6}$ ч) после встречи с первым велосипедистом автобус догнал второго. Это значит, что общее время движения автобуса до встречи со вторым велосипедистом составило $(t + \frac{1}{6})$ ч, и за это время он проделал путь, равный $x(t + \frac{1}{6})$ км. Второй велосипедист к этому моменту был в пути $(1 + t + \frac{1}{6}) = (t + \frac{7}{6})$ ч и проделал путь $20(t + \frac{7}{6})$ км. Так как они проехали одинаковое расстояние, получаем второе уравнение:

$x(t + \frac{1}{6}) = 20(t + \frac{7}{6})$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$\begin{cases} xt = 15(1+t) \\ x(t + \frac{1}{6}) = 20(t + \frac{7}{6}) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = \frac{15(1+t)}{t}$ и подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{15(1+t)}{t} \cdot (t + \frac{1}{6}) = 20(t + \frac{7}{6})$

Умножим обе части уравнения на $6t$, чтобы избавиться от знаменателей (учитывая, что $t>0$):

$15(1+t)(6t+1) = 20t(6t+7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15(6t^2 + 7t + 1) = 120t^2 + 140t$

$90t^2 + 105t + 15 = 120t^2 + 140t$

$30t^2 + 35t - 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$6t^2 + 7t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$

$t = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 11}{12}$

Так как время $t$ не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

$t = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость автобуса $x$, подставив значение $t$ в выражение, полученное из первого уравнения:

$x = \frac{15(1+t)}{t} = \frac{15(1 + 1/3)}{1/3} = \frac{15 \cdot (4/3)}{1/3} = 15 \cdot 4 = 60$.

Следовательно, скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: 60.