Страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x^2 - 16}}$

б) $y=\sqrt{\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x - 1}}$

а) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x^2 - 16}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x^2 - 16} \ge 0$

Для решения неравенства разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6)$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $x(x^2 - 5x + 6) = x(x - 2)(x - 3)$.

Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{x(x - 2)(x - 3)}{(x - 4)(x + 4)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя (точки, в которых выражение равно 0): $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$. Эти точки являются решениями, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x = -4$, $x = 4$. Эти точки должны быть исключены из области определения.

Нанесем точки на числовую ось: -4, 0, 2, 3, 4 и определим знаки выражения в каждом интервале:

• Интервал $(4, +\infty)$: знак "+".
• Интервал $(3, 4)$: знак "-".
• Интервал $(2, 3)$: знак "+".
• Интервал $(0, 2)$: знак "-".
• Интервал $(-4, 0)$: знак "+".
• Интервал $(-\infty, -4)$: знак "-".

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком "+" и точкам, где числитель равен нулю.

Объединяя результаты, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = (-4, 0] \cup [2, 3] \cup (4, +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x - 1}}$ область определения также задается условием неотрицательности подкоренного выражения и отличия знаменателя от нуля.

Запишем неравенство:

$\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x - 1} \ge 0$

Разложим числитель на множители:

$x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4) = x(x + 2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x + 2)^2}{x - 1} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = 0$ и $x = -2$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Точки $x=0$ и $x=-2$ включаются в решение, так как неравенство нестрогое. Точка $x=1$ исключается.

Обратим внимание на множитель $(x + 2)^2$. Он всегда неотрицателен. При $x = -2$ выражение равно нулю, что удовлетворяет неравенству. При $x \ne -2$ множитель $(x+2)^2$ положителен и не влияет на знак дроби. При переходе через точку $x = -2$ знак выражения не меняется (корень четной кратности).

Определим знаки на интервалах, отметив точки -2, 0, 1 на оси:

• Интервал $(1, +\infty)$: знак "+".
• Интервал $(0, 1)$: знак "-".
• Интервал $(-2, 0)$: знак "+".
• Интервал $(-\infty, -2)$: знак "+".

Выбираем промежутки, где выражение неотрицательно. Это $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(1, +\infty)$. Также включаем нули числителя $x=0$ и $x=-2$.

Объединяя интервалы и точки, получаем: $(-\infty, -2] \cup [-2, 0] \cup (1, +\infty)$, что можно записать как $(-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

12. Решите неравенство $\frac{x^3 + 5x^2 - 5 - x}{x^3 - 4x^2 - 4 + x} > 0$.

Для решения неравенства $\frac{x^3 + 5x^2 - 5 - x}{x^3 - 4x^2 - 4 + x} > 0$ воспользуемся методом интервалов. Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим на множители числитель $x^3 + 5x^2 - x - 5$. Сгруппируем слагаемые:

$x^3 + 5x^2 - x - 5 = (x^3 + 5x^2) - (x + 5) = x^2(x + 5) - 1(x + 5) = (x^2 - 1)(x + 5)$.

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получим:

$(x^2 - 1)(x + 5) = (x - 1)(x + 1)(x + 5)$.

Нули числителя: $x = 1$, $x = -1$, $x = -5$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^3 - 4x^2 + x - 4$. Также сгруппируем слагаемые:

$x^3 - 4x^2 + x - 4 = (x^3 - 4x^2) + (x - 4) = x^2(x - 4) + 1(x - 4) = (x^2 + 1)(x - 4)$.

Знаменатель обращается в ноль при $x = 4$. Множитель $(x^2 + 1)$ всегда строго положителен при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 5)}{(x^2 + 1)(x - 4)} > 0 $$

Поскольку $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, мы можем умножить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства. Получаем равносильное неравенство:

$$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 5)}{x - 4} > 0 $$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x = -5$, $x = -1$, $x = 1$ и $x = 4$. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

- Интервал $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$. $\frac{(+)(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак `+`.
- Интервал $(1; 4)$: возьмем $x=2$. $\frac{(+)(+)(+)}{(-)} < 0$. Знак `-`.
- Интервал $(-1; 1)$: возьмем $x=0$. $\frac{(-)(+)(+)}{(-)} > 0$. Знак `+`.
- Интервал $(-5; -1)$: возьмем $x=-2$. $\frac{(-)(-)(+)}{(-)} < 0$. Знак `-`.
- Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$. $\frac{(-)(-)(-)}{(-)} > 0$. Знак `+`.

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля. Следовательно, нас интересуют интервалы, где стоит знак `+`.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -5)$, $(-1; 1)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 1) \cup (4; +\infty)$.

34. Среднее арифметическое двух чисел равно 13, а среднее геометрическое — 12. Найдите эти числа.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их среднее арифметическое равно $\frac{x+y}{2}$, что по условию равно 13.

Следовательно, $x+y = 26$ (1)

Среднее геометрическое этих чисел равно $\sqrt{xy}$, что по условию задачи равно 12, следовательно, $xy = 144$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

…

…

…

…

…

…

Следовательно, эти числа … и …

Ответ: …

Решение. Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их среднее арифметическое равно $\frac{x+y}{2}$, что по условию равно 13.

Следовательно, получаем первое уравнение: $\frac{x+y}{2} = 13$ (1)

Среднее геометрическое этих чисел равно $\sqrt{xy}$, что по условию задачи равно 12.

Следовательно, получаем второе уравнение: $\sqrt{xy} = 12$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$\begin{cases} \frac{x+y}{2}=13, \\ \sqrt{xy}=12. \end{cases}$

Для решения системы преобразуем уравнения. Умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения возведем в квадрат (поскольку числа для нахождения среднего геометрического должны быть неотрицательными, это преобразование является равносильным):

$\begin{cases} x+y=26, \\ xy=144. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 26 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x(26-x) = 144$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$26x - x^2 = 144$

$x^2 - 26x + 144 = 0$

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 26, а их произведение равно 144. Этими корнями являются искомые числа $x$ и $y$.

Можно решить уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 676 - 576 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Если $x = 8$, то $y = 26 - 8 = 18$.

Если $x = 18$, то $y = 26 - 18 = 8$.

Следовательно, эти числа 8 и 18.

Ответ: 8 и 18.