Страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Решите неравенство:

а) $2x^2 - 9x + 7 > 0$; б) $2x^2 - 9x + 7 < 0$.

Решение. Определим направление ветвей параболы, которая является графиком функции $y=2x^2 - 9x + 7$. Ветви направлены

Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью $x$:

Изобразим параболу схематически и укажем множество решений неравенств:

Ответ: а) ......................... б) .........................

Для решения обоих неравенств рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 9x + 7$. Графиком этой функции является парабола.

Определим направление ветвей параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью x.

Для этого приравняем квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

$2x^2 - 9x + 7 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$

Изобразим параболу схематически и укажем множество решений неравенств.

Парабола пересекает ось $x$ в точках 1 и 3.5, а её ветви направлены вверх. Это означает, что значения функции положительны вне интервала между корнями и отрицательны внутри этого интервала.

а) $2x^2 - 9x + 7 > 0$

Решением неравенства являются все значения $x$, при которых парабола находится выше оси $x$. Глядя на схему, это происходит при $x$ левее точки 1 и правее точки 3.5. Таким образом, решением является объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3.5; +\infty)$.

б) $2x^2 - 9x + 7 < 0$

Решением неравенства являются все значения $x$, при которых парабола находится ниже оси $x$. Глядя на схему, это происходит на интервале между точками 1 и 3.5.

Ответ: $x \in (1; 3.5)$.

2. Решите неравенство:

а) $3x^2 + 8x - 3 > 0;$

б) $x^2 - 19x - 42 < 0.$

a)

y

0

x

б)

y

0

x

Ответ.

а) $3x^2 + 8x - 3 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$. Это необходимо, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 8x - 3$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент) $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x = -3$ и $x = \frac{1}{3}$.

Неравенство $3x^2 + 8x - 3 > 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $x^2 - 19x - 42 < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 19x - 42 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 361 + 168 = 529 = 23^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-19) - \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 23}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-(-19) + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 23}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Графиком функции $y = x^2 - 19x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 21$.

Неравенство $x^2 - 19x - 42 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал от $-2$ до $21$.

Ответ: $x \in (-2; 21)$.

22. Решите уравнение, вводя новую переменную:

a) $(x^2 + 2x)^2 - 18x^2 - 36x + 45 = 0;$

б) $x + \sqrt{x} - 20 = 0.$

а) Дано уравнение $(x^2 + 2x)^2 - 18x^2 - 36x + 45 = 0$.

Заметим, что $-18x^2 - 36x$ можно преобразовать, вынеся за скобки общий множитель $-18$: $-18(x^2 + 2x)$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45 = 0$.

Это уравнение можно упростить, введя новую переменную. Пусть $t = x^2 + 2x$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 18t + 45 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно 45, а их сумма равна 18. Корни легко подбираются: $t_1 = 15$ и $t_2 = 3$.

В качестве альтернативы, найдем корни через дискриминант:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 = 12^2$.

$t_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}$.

$t_1 = \frac{18 + 12}{2} = 15$.

$t_2 = \frac{18 - 12}{2} = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. При $t = 15$:

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_1 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$.

2. При $t = 3$:

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_2 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.

$x_3 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.

$x_4 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.

Таким образом, мы получили четыре корня.

Ответ: $-5; -3; 1; 3$.

б) Дано уравнение $x + \sqrt{x} - 20 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Заменим в исходном уравнении $x$ на $t^2$ и $\sqrt{x}$ на $t$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - 20 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -20, а их сумма равна -1. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.

$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 4$:

$\sqrt{x} = 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 4^2 = 16$.

Найденное значение $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).

Ответ: $16$.