Номер 1, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $2x(5x - 7) + 5x(3 - 2x) = $

б) $(y^2 - 2y + 4)(y + 2) - y(y^2 - 1) = $

в) $(a^3 - a^2 + a - 1)(a + 1) = $

г) $(11x - 5)^2 - (10x + 1)^2 - (7x + 10)(3x - 20) = $

а) Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен, необходимо сначала раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.
$2x(5x - 7) + 5x(3 - 2x) = 2x \cdot 5x - 2x \cdot 7 + 5x \cdot 3 - 5x \cdot 2x = 10x^2 - 14x + 15x - 10x^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(10x^2 - 10x^2) + (-14x + 15x) = 0 + x = x$
Ответ: $x$

б) В этом выражении мы сначала применим формулу суммы кубов для первой части, раскроем скобки во второй части, а затем приведем подобные слагаемые.
Первая часть выражения $(y^2 - 2y + 4)(y + 2)$ является формулой суммы кубов $(a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3$, где $a=y$ и $b=2$.
$(y^2 - 2y + 4)(y + 2) = y^3 + 2^3 = y^3 + 8$
Вторая часть выражения: $-y(y^2 - 1) = -y \cdot y^2 - y \cdot (-1) = -y^3 + y$
Теперь объединим полученные результаты:
$(y^3 + 8) + (-y^3 + y) = y^3 + 8 - y^3 + y = (y^3 - y^3) + y + 8 = y + 8$
Ответ: $y + 8$

в) Для преобразования этого выражения можно перемножить многочлены "каждый с каждым" или использовать метод группировки.
Сгруппируем слагаемые в первой скобке:
$(a^3 - a^2 + a - 1) = (a^3 - a^2) + (a - 1) = a^2(a - 1) + 1(a - 1) = (a^2 + 1)(a - 1)$
Теперь исходное выражение выглядит так: $(a^2 + 1)(a - 1)(a + 1)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов для $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Получаем: $(a^2 + 1)(a^2 - 1)$.
Это еще одна разность квадратов: $(a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.
Ответ: $a^4 - 1$

г) В данном выражении необходимо последовательно раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения, и затем привести подобные слагаемые.
1. Раскроем квадрат разности $(11x - 5)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(11x - 5)^2 = (11x)^2 - 2 \cdot 11x \cdot 5 + 5^2 = 121x^2 - 110x + 25$
2. Раскроем квадрат суммы $(10x + 1)^2$ по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(10x + 1)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot 10x \cdot 1 + 1^2 = 100x^2 + 20x + 1$
3. Раскроем скобки $(7x + 10)(3x - 20)$:
$(7x + 10)(3x - 20) = 7x \cdot 3x + 7x \cdot (-20) + 10 \cdot 3x + 10 \cdot (-20) = 21x^2 - 140x + 30x - 200 = 21x^2 - 110x - 200$
4. Подставим все в исходное выражение, учитывая знаки "минус":
$(121x^2 - 110x + 25) - (100x^2 + 20x + 1) - (21x^2 - 110x - 200) = 121x^2 - 110x + 25 - 100x^2 - 20x - 1 - 21x^2 + 110x + 200$
5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(121x^2 - 100x^2 - 21x^2) + (-110x - 20x + 110x) + (25 - 1 + 200) = 0x^2 - 20x + 224 = -20x + 224$
Ответ: $-20x + 224$