Номер 13, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Сравните значения выражений без использования калькулятора:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$

б) $2\sqrt{10}$ и $3\sqrt{5}$

в) $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ и $\sqrt{5} + 2$

г) $\sqrt{6} + 3$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$

Ответ: а)

Ответ: б)

Ответ: в)

Ответ: г)

а) Чтобы сравнить значения выражений $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$, приведем их к одному виду. Внесем множитель 2 под знак корня в первом выражении. Для этого возведем 2 в квадрат и умножим на подкоренное выражение:
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Теперь сравним полученное выражение с $\sqrt{12}$:
$\sqrt{12} = \sqrt{12}$.
Следовательно, значения выражений равны.
Ответ: $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.

б) Для сравнения выражений $2\sqrt{10}$ и $3\sqrt{5}$ внесем множители перед корнями под знак корня.
Для первого выражения: $2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.
Для второго выражения: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{40}$ и $\sqrt{45}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Поскольку $40 < 45$, то $\sqrt{40} < \sqrt{45}$.
Следовательно, $2\sqrt{10} < 3\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{10} < 3\sqrt{5}$.

в) Оба выражения, $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ и $\sqrt{5} + 2$, являются положительными. Чтобы их сравнить, мы можем сравнить их квадраты. Если $a > 0$, $b > 0$, то неравенство $a < b$ равносильно неравенству $a^2 < b^2$.
Возведем в квадрат первое выражение:
$(\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14}$.
Возведем в квадрат второе выражение:
$(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.
Теперь сравним результаты: $9 + 2\sqrt{14}$ и $9 + 4\sqrt{5}$. Это равносильно сравнению $2\sqrt{14}$ и $4\sqrt{5}$. Внесем множители под знак корня:
$2\sqrt{14} = \sqrt{2^2 \cdot 14} = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{56}$.
$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.
Так как $56 < 80$, то $\sqrt{56} < \sqrt{80}$. Следовательно, $2\sqrt{14} < 4\sqrt{5}$, а значит $9 + 2\sqrt{14} < 9 + 4\sqrt{5}$.
Поскольку квадраты выражений соотносятся как $(\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 < (\sqrt{5} + 2)^2$, и сами выражения положительны, то и $\sqrt{2} + \sqrt{7} < \sqrt{5} + 2$.
Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt{7} < \sqrt{5} + 2$.

г) Сравним выражения $\sqrt{6} + 3$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
Возведем в квадрат первое выражение:
$(\sqrt{6} + 3)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 3 + 3^2 = 6 + 6\sqrt{6} + 9 = 15 + 6\sqrt{6}$.
Возведем в квадрат второе выражение:
$(\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{50} + 10 = 15 + 2\sqrt{50}$.
Теперь сравним $15 + 6\sqrt{6}$ и $15 + 2\sqrt{50}$. Это равносильно сравнению $6\sqrt{6}$ и $2\sqrt{50}$. Внесем множители под знак корня:
$6\sqrt{6} = \sqrt{6^2 \cdot 6} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{216}$.
$2\sqrt{50} = \sqrt{2^2 \cdot 50} = \sqrt{4 \cdot 50} = \sqrt{200}$.
Так как $216 > 200$, то $\sqrt{216} > \sqrt{200}$. Значит, $6\sqrt{6} > 2\sqrt{50}$, и $15 + 6\sqrt{6} > 15 + 2\sqrt{50}$.
Так как квадраты выражений соотносятся как $(\sqrt{6} + 3)^2 > (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2$, и сами выражения положительны, то $\sqrt{6} + 3 > \sqrt{5} + \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{6} + 3 > \sqrt{5} + \sqrt{10}$.