Номер 11, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{5+\sqrt{21}} \cdot \sqrt{5-\sqrt{21}} =$

б) $\sqrt{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}} =$

а)

Чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся свойством произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Это свойство применимо, так как оба подкоренных выражения, $5 + \sqrt{21}$ и $5 - \sqrt{21}$, являются положительными числами (поскольку $5^2 = 25$ и $(\sqrt{21})^2 = 21$, то $5 > \sqrt{21}$).

Запишем исходное выражение под одним корнем:

$\sqrt{5 + \sqrt{21}} \cdot \sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})}$

Выражение в скобках под корнем представляет собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=5$ и $b=\sqrt{21}$.

Применим эту формулу для упрощения подкоренного выражения:

$(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21}) = 5^2 - (\sqrt{21})^2 = 25 - 21 = 4$

Теперь подставим полученное значение обратно под корень и вычислим результат:

$\sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б)

Решение этого примера аналогично предыдущему. Мы также используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Проверим, что подкоренные выражения положительны. $7 + 4\sqrt{3}$ очевидно положительно. Для $7 - 4\sqrt{3}$ сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $7^2=49$ и $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и выражение $7 - 4\sqrt{3}$ положительно.

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$

Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$

Подставляем результат под корень:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: 1