Номер 12, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Выполните действия:

a) $\sqrt{(5+\sqrt{5})^2} - \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = \dots$

б) $(5-2\sqrt{3})^2 + (5+2\sqrt{3})^2 = \dots$

в) $(\sqrt{10+5\sqrt{3}} - \sqrt{10-5\sqrt{3}})^2 = \dots$

г) $\frac{1}{6-3\sqrt{2}} + \frac{1}{6+3\sqrt{2}} = \dots$

а) Для решения используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(5+\sqrt{5})^2} - \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = |5+\sqrt{5}| - |2-\sqrt{5}|$.
Оценим знаки выражений под знаком модуля:
Выражение $5+\sqrt{5}$ является положительным, так как это сумма двух положительных чисел. Следовательно, $|5+\sqrt{5}| = 5+\sqrt{5}$.
Для выражения $2-\sqrt{5}$ сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$. Так как $2^2=4$ и $(\sqrt{5})^2=5$, то $4<5$, а значит $2 < \sqrt{5}$. Поэтому разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом.
Следовательно, $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(5+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2) = 5 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 = 7$.
Ответ: 7

б) Используем формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Сумма этих выражений равна: $(a-b)^2 + (a+b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2+b^2)$.
В нашем случае $a=5$ и $b=2\sqrt{3}$.
Подставим значения в упрощенную формулу:
$2(5^2 + (2\sqrt{3})^2) = 2(25 + 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 2(25 + 4 \cdot 3) = 2(25+12) = 2 \cdot 37 = 74$.
Ответ: 74

в) Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{10+5\sqrt{3}}$ и $b = \sqrt{10-5\sqrt{3}}$.
$(\sqrt{10+5\sqrt{3}} - \sqrt{10-5\sqrt{3}})^2 = (\sqrt{10+5\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{10+5\sqrt{3}} \cdot \sqrt{10-5\sqrt{3}} + (\sqrt{10-5\sqrt{3}})^2$.
Упростим каждое слагаемое:
$(\sqrt{10+5\sqrt{3}})^2 = 10+5\sqrt{3}$.
$(\sqrt{10-5\sqrt{3}})^2 = 10-5\sqrt{3}$.
Произведение корней $2 \cdot \sqrt{10+5\sqrt{3}} \cdot \sqrt{10-5\sqrt{3}}$ можно записать как $2 \sqrt{(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})}$. Выражение под корнем является разностью квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$2 \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = 2 \sqrt{100 - (25 \cdot 3)} = 2 \sqrt{100 - 75} = 2 \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.
Теперь подставим все части обратно в раскрытую формулу:
$(10+5\sqrt{3}) - 10 + (10-5\sqrt{3}) = 10 + 5\sqrt{3} - 10 + 10 - 5\sqrt{3} = 10$.
Ответ: 10

г) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})$.
$\frac{1}{6-3\sqrt{2}} + \frac{1}{6+3\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (6+3\sqrt{2})}{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})} + \frac{1 \cdot (6-3\sqrt{2})}{(6+3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})}$.
Сложим числители над общим знаменателем:
$\frac{(6+3\sqrt{2}) + (6-3\sqrt{2})}{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})} = \frac{12}{(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2})}$.
Знаменатель является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(6-3\sqrt{2})(6+3\sqrt{2}) = 6^2 - (3\sqrt{2})^2 = 36 - (9 \cdot 2) = 36 - 18 = 18$.
Получаем дробь: $\frac{12}{18}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$