Номер 18, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Найдите сумму членов с третьего по шестой включительно геометрической прогрессии $(b_n):$ $ \frac{1}{16}; \frac{1}{8}; \ldots $

Решение. В данной прогрессии $b_1 = \ldots, q = \ldots$

$ S_{3-6} = S_6 - \ldots $

Ответ: $ S_{3-6} = \ldots $

Решение.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой известны первые два члена: $b_1 = \frac{1}{16}$ и $b_2 = \frac{1}{8}$.

1. Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/8}{1/16} = \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = \frac{16}{8} = 2$.

2. Требуется найти сумму членов с третьего по шестой включительно, которую обозначим $S_{3-6}$. Эту сумму можно вычислить как разность между суммой первых шести членов ($S_6$) и суммой первых двух членов ($S_2$):

$S_{3-6} = S_6 - S_2$.

3. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

4. Вычислим $S_6$, подставив известные значения $b_1 = \frac{1}{16}$ и $q=2$:

$S_6 = \frac{\frac{1}{16}(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{16}(64 - 1)}{1} = \frac{1}{16} \cdot 63 = \frac{63}{16}$.

5. Вычислим $S_2$. Это можно сделать по той же формуле или просто сложив первые два члена:

$S_2 = b_1 + b_2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16}$.

6. Теперь найдем искомую сумму $S_{3-6}$ как разность $S_6$ и $S_2$:

$S_{3-6} = S_6 - S_2 = \frac{63}{16} - \frac{3}{16} = \frac{63 - 3}{16} = \frac{60}{16}$.

7. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{60}{16} = \frac{15}{4}$.

Ответ можно также представить в виде смешанного числа $3\frac{3}{4}$ или десятичной дроби $3,75$.

Ответ: $S_{3-6} = \frac{15}{4}$.