Номер 2, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Разложите на множители:

а) $25x^2 - 81y^2 =$

б) $2a^3 - 2a =$

в) $a^2 + 2ab + b^2 - 4 =$

г) $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 =$

д) $64x^3 - 1 =$

е) $(2x - 1)^3 + 1 =$

а)

Данное выражение $25x^2 - 81y^2$ представляет собой разность квадратов. Представим каждый член в виде квадрата:

$25x^2 = (5x)^2$

$81y^2 = (9y)^2$

Теперь выражение выглядит так: $(5x)^2 - (9y)^2$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5x$ и $B = 9y$.

Подставив наши значения, получаем: $(5x - 9y)(5x + 9y)$.

Ответ: $(5x - 9y)(5x + 9y)$

б)

В выражении $2a^3 - 2a$ первым шагом вынесем за скобки общий множитель $2a$.

$2a^3 - 2a = 2a(a^2 - 1)$

Выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к выражению $a^2 - 1^2$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: $2a(a - 1)(a + 1)$.

Ответ: $2a(a - 1)(a + 1)$

в)

Рассмотрим выражение $a^2 + 2ab + b^2 - 4$. Первые три слагаемых $a^2 + 2ab + b^2$ образуют полный квадрат суммы.

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $(a + b)^2 - 4$.

Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Получаем $(a + b)^2 - 2^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (a + b)$ и $B = 2$.

$((a + b) - 2)((a + b) + 2) = (a + b - 2)(a + b + 2)$

Ответ: $(a + b - 2)(a + b + 2)$

г)

Для разложения выражения $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$ используем метод группировки.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(a^3 - a^2b) + (-ab^2 + b^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $a^2$, из второй $-b^2$:

$a^2(a - b) - b^2(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a^2 - b^2)$

Выражение во второй скобке $a^2 - b^2$ само является разностью квадратов и раскладывается на $(a - b)(a + b)$.

Подставляем это разложение и получаем окончательный результат:

$(a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)^2(a + b)$

Ответ: $(a - b)^2(a + b)$

д)

Выражение $64x^3 - 1$ является разностью кубов. Представим его в соответствующем виде:

$64x^3 = (4x)^3$

$1 = 1^3$

Выражение принимает вид: $(4x)^3 - 1^3$.

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 4x$ и $B = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$(4x - 1)((4x)^2 + (4x)(1) + 1^2)$

Упрощаем вторую скобку:

$(4x - 1)(16x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(4x - 1)(16x^2 + 4x + 1)$

е)

Выражение $(2x - 1)^3 + 1$ представляет собой сумму кубов, так как $1 = 1^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = (2x - 1)$ и $B = 1$.

Подставляем в формулу:

$((2x - 1) + 1)((2x - 1)^2 - (2x - 1)(1) + 1^2)$

Упростим каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $(2x - 1 + 1) = 2x$.

Вторая скобка: $(2x - 1)^2 - (2x - 1) + 1 = (4x^2 - 4x + 1) - 2x + 1 + 1 = 4x^2 - 4x - 2x + 1 + 1 + 1 = 4x^2 - 6x + 3$.

Перемножаем полученные выражения:

$2x(4x^2 - 6x + 3)$

Ответ: $2x(4x^2 - 6x + 3)$