Номер 8, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Упростите выражение:

a) $ \left(a + \frac{6 - a^2}{1 + a}\right) : \frac{6 + a}{a^2 - 1} = $

б) $ \left(a - 5 + \frac{15}{a + 5}\right) : \frac{a^2 - 10}{a^2 + 10a + 25} = $

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним действие в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $(1+a)$:
$a + \frac{6-a^2}{1+a} = \frac{a(1+a)}{1+a} + \frac{6-a^2}{1+a} = \frac{a+a^2+6-a^2}{1+a} = \frac{a+6}{1+a}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{a+6}{1+a} : \frac{6+a}{a^2-1} = \frac{a+6}{1+a} \cdot \frac{a^2-1}{6+a}$
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a^2-1 = (a-1)(a+1)$
Подставим это в наше выражение и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{a+6}{1+a} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{a+6} = \frac{\cancel{a+6}}{\cancel{1+a}} \cdot \frac{(a-1)\cancel{(a+1)}}{\cancel{a+6}} = a-1$
Выражение определено при $1+a \neq 0$ ($a \neq -1$), $a^2-1 \neq 0$ ($a \neq \pm1$) и $6+a \neq 0$ ($a \neq -6$).
Ответ: $a-1$

б) Аналогично, сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель — $(a+5)$:
$a-5 + \frac{15}{a+5} = \frac{(a-5)(a+5)}{a+5} + \frac{15}{a+5}$
Используем формулу разности квадратов в числителе первой дроби:
$\frac{a^2-25}{a+5} + \frac{15}{a+5} = \frac{a^2-25+15}{a+5} = \frac{a^2-10}{a+5}$
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{a^2-10}{a+5} : \frac{a^2-10}{a^2+10a+25} = \frac{a^2-10}{a+5} \cdot \frac{a^2+10a+25}{a^2-10}$
Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2+10a+25 = (a+5)^2$.
Подставим и сократим:
$\frac{\cancel{a^2-10}}{a+5} \cdot \frac{(a+5)^2}{\cancel{a^2-10}} = \frac{(a+5)^2}{a+5} = a+5$
Выражение определено при $a+5 \neq 0$ ($a \neq -5$) и $a^2-10 \neq 0$ ($a \neq \pm\sqrt{10}$).
Ответ: $a+5$