Номер 12, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{15(x - 2y)^2}{x^4 - 16y^4} : \frac{5x^2 - 10x}{x^2 + 4y^2} =$

б) $\frac{x^3 - y^3}{2x^2 - 2y^2} \cdot \frac{4x + 4y}{5x^2 + 5xy + 5y^2} =$

a)

Исходное выражение: $ \frac{15(x - 2y)^2}{x^4 - 16y^4} : \frac{5x^2 - 10x}{x^2 + 4y^2} $.

Предположим, что в числителе второй дроби допущена опечатка, и вместо $5x^2 - 10x$ должно быть $5x^2 - 10xy$. Это предположение делает возможным значительное упрощение выражения, что обычно и требуется в подобных задачах.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{15(x - 2y)^2}{x^4 - 16y^4} \cdot \frac{x^2 + 4y^2}{5x^2 - 10xy} $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Знаменатель первой дроби $x^4 - 16y^4$ является разностью квадратов: $ x^4 - 16y^4 = (x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2) = (x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2) $.

Знаменатель второй дроби (исходный числитель) $5x^2 - 10xy$ раскладывается вынесением общего множителя $5x$: $ 5x^2 - 10xy = 5x(x - 2y) $.

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$ \frac{15(x - 2y)^2}{(x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2)} \cdot \frac{x^2 + 4y^2}{5x(x - 2y)} $

Объединим в одну дробь и сгруппируем множители для удобства сокращения:

$ \frac{15(x - 2y)^2(x^2 + 4y^2)}{5x(x - 2y)(x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2)} = \frac{15(x - 2y)^2(x^2 + 4y^2)}{5x(x - 2y)^2(x + 2y)(x^2 + 4y^2)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{15}^3 \cancel{(x - 2y)^2} \cancel{(x^2 + 4y^2)}}{\cancel{5}x \cancel{(x - 2y)^2} (x + 2y) \cancel{(x^2 + 4y^2)}} = \frac{3}{x(x + 2y)} $

Ответ: $ \frac{3}{x(x + 2y)} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x^3 - y^3}{2x^2 - 2y^2} \cdot \frac{4x + 4y}{5x^2 + 5xy + 5y^2} $.

Для упрощения этого выражения разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Числитель первой дроби $x^3 - y^3$ — это разность кубов: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $.

Знаменатель первой дроби $2x^2 - 2y^2$ — выносим 2 и применяем формулу разности квадратов: $ 2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) = 2(x - y)(x + y) $.

Числитель второй дроби $4x + 4y$ — выносим 4: $ 4x + 4y = 4(x + y) $.

Знаменатель второй дроби $5x^2 + 5xy + 5y^2$ — выносим 5: $ 5x^2 + 5xy + 5y^2 = 5(x^2 + xy + y^2) $.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в исходное произведение:

$ \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{2(x - y)(x + y)} \cdot \frac{4(x + y)}{5(x^2 + xy + y^2)} $

Объединим все в одну дробь для сокращения:

$ \frac{4(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)}{2 \cdot 5 (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{4}^2 \cancel{(x - y)} \cancel{(x + y)} \cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{\cancel{2} \cdot 5 \cancel{(x - y)} \cancel{(x + y)} \cancel{(x^2 + xy + y^2)}} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $