Номер 13, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Упростите выражение $\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1}$ и найдите его значение при $x = 10,5$.

1. $\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1}$ .......................

.......................

.......................

Если $x = 10,5$, то .................

Ответ: .....................

Упростите выражение

Исходное выражение: $ \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1} $.

Первым шагом заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):
$ \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x + 1} $

Далее разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
- Числитель $ x^3 + 1 $ — это сумма кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.
$ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) $
- Знаменатель $ x^2 - 1 $ — это разность квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $
- Выражение $ x^2 - 2x + 1 $ — это квадрат разности: $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $.
$ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1) $

Подставим полученные разложения в наше выражение:
$ \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x-1)}{x^2 - x + 1} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $ (x+1) $, $ (x-1) $ и $ (x^2 - x + 1) $.
$ \frac{\cancel{(x+1)}\cancel{(x^2 - x + 1)}}{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}} \cdot \frac{\cancel{(x-1)}(x-1)}{\cancel{x^2 - x + 1}} = x-1 $

Ответ: $ x-1 $.

Найдите его значение при x = 10,5

Подставим значение $ x = 10,5 $ в упрощенное выражение $ x-1 $:
$ 10,5 - 1 = 9,5 $

Ответ: 9,5.